Énoncé de la théorie des catégories qui, pour toute catégorie localement petite C, tout objet A de C et tout foncteur F : C^op → Set, fournit une bijection naturelle entre les transformations naturelles Hom_C(-,A) ⇒ F et les éléments de l'ensemble F(A) ; cette bijection est naturelle en A et en F et induit l'immersion de Yoneda de C dans la catégorie des foncteurs [C^op,Set].

Principe

Les objets sont déterminés par la façon dont les autres objets s'y envoient des flèches : sonder A par Hom(-,A) encode ses relations et transforme les transformations naturelles en éléments concrets de la valeur du foncteur en A.

Démonstration

Dans la catégorie des ensembles, pour A = {0,1} et F = Hom_Set(-,A), une transformation naturelle η : Hom(-,A) ⇒ F correspond exactement à l'élément η_A(id_A) ∈ F(A), montrant explicitement la correspondance. De manière plus abstraite, les préfaisceaux représentables correspondent à leur objet représentant via cette bijection.

Mauvaise application

Prendre le lemme pour une identification des objets eux‑mêmes plutôt que des applications vers des foncteurs ; par exemple, conclure Hom(-,A) = F comme foncteurs dès qu'un élément coïncide point par point sans vérifier la naturalité ou la bijection entière.

Conséquence

Une catégorie s'insère pleinement et fidèlement dans sa catégorie de préfaisceaux par A ↦ Hom(-,A), de sorte que les propriétés invariantes par isomorphisme des objets se lisent sur leurs foncteurs représentables ; de nombreuses preuves d'unicité se réduisent à vérifier l'égalité de transformations naturelles.

Inversion

Inverser la variance : considérer Hom(A,-) (Hom covariant) donne des énoncés analogues mais de variance différente et une immersion différente (C → [C,Set]) — les conditions de naturalité et la structure varient en conséquence.

Limite

Nécessite une catégorie localement petite pour que les Hom soient des ensembles et des foncteurs à valeurs dans Set ; le lemme s'applique aux transformations naturelles entre préfaisceaux à valeurs dans Set et n'affirme pas en soi que tout préfaisceau est représentable.

Tension sémantique

Entre « élément de F(A) » et « transformation naturelle Hom(-,A) ⇒ F » : la tension tient au fait qu'un point semble moins riche qu'une famille naturelle de flèches, pourtant Yoneda montre leur équivalence lorsqu'on impose la naturalité.

Synthèse

Le lemme de Yoneda réunit l'idée qu'un objet est entièrement encodé par les flèches qui aboutissent en lui : les foncteurs représentables Hom(-,A) servent de sondes qui transforment les transformations naturelles en éléments concrets, assurant une immersion fidèle qui convertit les relations catégoriques en données d'ensembles tout en respectant la naturalité.