Aussage der Kategorientheorie, dass für jede lokal kleine Kategorie C, jedes Objekt A ∈ C und jeden Funktor F: C^op → Set eine natürliche Bijektion zwischen natürlichen Transformationen Hom_C(-,A) ⇒ F und den Elementen von F(A) besteht; diese Bijektion ist natürlich in A und F und liefert die Yoneda-Einbettung von C in die Funktorkategorie [C^op,Set].

Prinzip

Objekte werden durch die Abbildungen in sie hinein bestimmt: Das ‚Abtasten‘ von A durch Hom(-,A) kodiert seine Beziehungen und übersetzt natürliche Transformationen in konkrete Elemente des Funktorwerts bei A.

Demonstration

In der Kategorie der Mengen, mit A = {0,1} und F = Hom_Set(-,A), entspricht eine natürliche Transformation η: Hom(-,A) ⇒ F genau dem Element η_A(id_A) ∈ F(A), was die Bijektion direkt illustriert. Allgemeiner entsprechen repräsentierbare Prägarben ihrem repräsentierenden Objekt durch diese Bijektion.

Fehlanwendung

Den Satz als Identifikation der Objekte selbst fehlinterpretieren statt als Identifikation der Abbildungen in Funktoren; zum Beispiel anzunehmen, Hom(-,A) = F als Funktoren, wenn nur punktweise Elemente übereinstimmen, ohne Naturalitätsbedingungen zu prüfen.

Konsequenz

Eine Kategorie lässt sich vollständig und treu in ihre Prägarbenkategorie einbetten via A ↦ Hom(-,A); isomorphismusinvariante Eigenschaften von Objekten lassen sich als Eigenschaften ihrer repräsentierbaren Funktoren untersuchen, viele Eindeutigkeitsbeweise reduzieren sich auf Gleichheit natürlicher Transformationen.

Umkehrung

Die Kontravarianz umkehren: Betrachtet man Hom(A,-) (kovarianter Hom), ergeben sich analoge Aussagen mit anderer Varianz und anderer Einbettung (C → [C,Set]) — Naturalitätsbedingungen und Struktur ändern sich entsprechend.

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine lokal kleine Kategorie, sodass Hom-Mengen echte Mengen sind und die Funktoren Ziele in Set haben; der Satz bezieht sich auf natürliche Transformationen zwischen setwertigen Prägarben und behauptet nicht, dass beliebige Prägarben repräsentierbar sind.

Semantische Spannung

Zwischen ‚Element von F(A)‘ und ‚natürliche Transformation Hom(-,A) ⇒ F‘: die Spannung liegt darin, dass ein punktweises Element weniger aussieht als eine natürliche Familie von Abbildungen, doch Yoneda zeigt, dass diese bei Naturalität äquivalent sind.

Synthese

Das Yoneda-Lemma vereinigt die Idee, dass ein Objekt vollständig durch hineinfließende Abbildungen bestimmt ist: Repräsentierbare Funktoren Hom(-,A) fungieren als Sonden, die natürliche Transformationen in konkrete Elemente umsetzen und so eine treue Einbettung erzeugen, welche kategoriale Beziehungen in mengenbasierte Daten überführt.