Afirmación de la teoría de categorías que establece que para cualquier categoría localmente pequeña C, objeto A en C y fonctor F: C^op → Set, existe una biyección natural entre transformaciones naturales Hom_C(-,A) ⇒ F y los elementos del conjunto F(A); esta biyección es natural en A y en F y produce la inmersión de Yoneda de C en la categoría de fonctores [C^op,Set].

Principio

Los objetos se determinan por cómo otros objetos se mapean hacia ellos: sondear A mediante Hom(-,A) codifica sus relaciones y convierte las transformaciones naturales en elementos concretos del valor del fonctor en A.

Demostración

En la categoría de conjuntos, con A = {0,1} y F = Hom_Set(-,A), una transformacion natural η: Hom(-,A) ⇒ F corresponde exactamente al elemento η_A(id_A) ∈ F(A), ilustrando la correspondencia. Más abstractamente, los presheafs representables corresponden a su objeto representante mediante esta biyección.

Aplicación incorrecta

Interpretar el lema como una identificación de los objetos en sí en lugar de una identificación de las aplicaciones hacia fonctores; por ejemplo, concluir Hom(-,A) = F como fonctores cuando solo coincide un elemento punto a punto sin comprobar la naturalidad o la biyección completa.

Consecuencia

Una categoría se inserta plena y fielmente en su categoría de presheafs vía A ↦ Hom(-,A), de modo que las propiedades invariantes por isomorfismo de objetos se estudian como propiedades de sus fonctores representables; muchas demostraciones de unicidad se reducen a verificar la igualdad de transformaciones naturales.

Inversión

Invertir la varianza: considerar Hom(A,-) (Hom covariante) conduce a enunciados análogos pero con varianza distinta y a una inmersión distinta (C → [C,Set]) — cambian las condiciones de naturalidad y la estructura relevante.

Límite

Requiere una categoría localmente pequeña para que los Hom sean conjuntos y los fonctores tengan por codominio Set; el lema se aplica a transformaciones naturales entre presheafs con valores en Set y no garantiza por sí solo que cualquier presheaf sea representable.

Tensión semántica

Entre 'elemento de F(A)' y 'transformación natural Hom(-,A) ⇒ F': la tensión es que un punto parece menos que una familia natural de mapas, pero Yoneda muestra que, con naturalidad, son equivalentes.

Síntesis

El lema de Yoneda sintetiza la idea de que un objeto queda completamente descrito por las flechas hacia él: los fonctores representables Hom(-,A) actúan como sondas que convierten transformaciones naturales en elementos concretos, proporcionando una inmersión fiel que traduce relaciones categóricas en datos de conjuntos respetando la naturalidad.