Un pôle complexe de la résolution méromorphiquement prolongée ou de la matrice de diffusion (ou de la continuation analytique de la fonction de Green) représentant des modes quasi-liés ou oscillatoires de longue durée associés à un obstacle, un potentiel ou une frontière ; les résonances généralisent les valeurs propres aux systèmes ouverts et codent les taux de décroissance et les fréquences d'oscillation.

Principe

Les résonances apparaissent là où l'inverse prolongé analytiquement (le résolvant) cesse d'être analytique ; leurs parties réelles indiquent la fréquence d'oscillation et leurs parties imaginaires (typiquement négatives) indiquent les taux de décroissance exponentielle des quasi-modes associés.

Démonstration

En diffusion extérieure par un obstacle compact dans R^n, la matrice de diffusion prolongée dans le plan complexe possède des pôles dont la position proche de l'axe réel correspond à des états de diffusion de longue durée ; en physique on les observe comme des pics dans les sections efficaces et comme des paquets d'ondes à décroissance lente.

Mauvaise application

Qualifier de résonance tout pic dans une amplitude de diffusion sans vérifier l'existence d'un pôle voisin, ou confondre une résonance vraie (pôle) avec un état lié (valeur propre réelle) ou un effet de seuil.

Conséquence

Les résonances gouvernent l'asymptotique à long terme de la propagation des ondes et apparaissent comme pôles dans les développements spectraux ; elles contrôlent les taux de décroissance, les développements en résonances et rendent compte des phénomènes métastables dans les systèmes ouverts.

Inversion

L'absence de résonances proches de l'axe réel implique une dispersion plus rapide et l'absence de quasi-modes de longue durée ; dans les systèmes fermés (compacts) l'analogue sont des valeurs propres réelles et non des résonances complexes.

Limite

La définition présuppose un cadre permettant la continuation analytique (par exemple continuation méromorphe du résolvant via complex scaling ou théorie de Fredholm analytique) ; dans des cadres purement discrets ou non analytiques le terme se réduit parfois à la théorie des valeurs propres.

Tension sémantique

Peut entrer en tension avec le terme « valeur propre » et avec l'usage heuristique de « résonance » dans les spectres expérimentaux ; mathématiquement les résonances sont des pôles définis analytiquement, pas seulement des pics observés ou des artefacts numériques.

Synthèse

Les résonances de diffusion sont des pôles complexes des opérateurs de diffusion prolongés analytiquement qui codent fréquence et décroissance des états métastables dans les systèmes ouverts ; elles relient les valeurs propres des systèmes fermés au comportement observable en longue durée.