Un polo complejo de la continuación meromorfa del resolvente o de la matriz de dispersión (o de la continuación analítica de la función de Green) que representa modos cuasi ligados u oscilatorios de larga vida asociados a un obstáculo, potencial o frontera; las resonancias generalizan los valores propios para sistemas abiertos y codifican tasas de decaimiento y frecuencias de oscilación.

Principio

Las resonancias ocurren donde la inversa continuada analíticamente (resolvente) deja de ser analítica; sus partes reales indican frecuencia de oscilación y las imaginarias (normalmente negativas) indican tasas de decaimiento exponencial de los cuasi-modos asociados.

Demostración

En la dispersión exterior por un obstáculo compacto en R^n, la matriz de dispersión continuada al plano complejo tiene polos cuya posición próxima al eje real corresponde a estados de dispersión de larga vida; en física se observan como picos en secciones eficaces y como paquetes de onda que decaen lentamente.

Aplicación incorrecta

Llamar resonancia a cualquier pico en una amplitud de dispersión sin verificar la existencia de un polo cercano, o confundir una resonancia verdadera (polo) con un estado ligado (valor propio real) o con un efecto de umbral.

Consecuencia

Las resonancias determinan la asintótica a largo plazo de la propagación de ondas y aparecen como polos en expansiones espectrales; controlan las tasas de decaimiento, las expansiones en resonancias y capturan fenómenos metaestables en sistemas abiertos.

Inversión

La ausencia de resonancias cerca del eje real implica dispersión más rápida y ausencia de cuasi-modos de larga vida; en sistemas cerrados (compactos) el análogo son valores propios reales en vez de resonancias complejas.

Límite

La definición presupone un marco que permita la continuación analítica (por ejemplo, continuación meromorfa del resolvente mediante escalado complejo o teoría de Fredholm analítica); en entornos puramente discretos o no analíticos el término puede reducirse a la teoría de valores propios.

Tensión semántica

Compite semánticamente con 'valor propio' y con el uso heurístico de 'resonancia' en espectros experimentales; matemáticamente las resonancias son polos definidos analíticamente, no meramente picos observados o artefactos numéricos.

Síntesis

Las resonancias de dispersión son polos complejos del operador de dispersión continuado analíticamente que codifican frecuencia y decaimiento de estados metaestables en sistemas abiertos; enlazan la noción de valor propio en sistemas cerrados con el comportamiento observable en larga duración.