Ein komplexer Pol der meromorphen Fortsetzung des Resolvents oder der Streumatrix (oder der analytischen Fortsetzung der Greenschen Funktion), der quasi-gebundene oder langlebige oszillatorische Modi beschreibt, die mit einem Hindernis, Potential oder Rand verbunden sind; Resonanzen verallgemeinern Eigenwerte für offene Systeme und kodieren Zerfallsraten und Schwingungsfrequenzen.

Prinzip

Resonanzen treten dort auf, wo die analytisch fortgesetzte Inverse (Resolvent) nicht analytisch ist; ihre Realteile geben die Schwingungsfrequenz an, die Imaginärteile (typisch negativ) die exponentielle Zerfallsrate der zugeordneten Quasi-Moden.

Demonstration

Bei der Außenstreuung an einem kompakten Hindernis in R^n hat die in die komplexe Ebene fortgesetzte Streumatrix Pole, deren Lage nahe der reellen Achse langlebige Streuzustände anzeigt; in der Physik erscheinen diese als Spitzen in Streukreuzabschnitten und als langsam zerfallende Wellenpakete.

Fehlanwendung

Jeden Peak in einer Streuamplitude als Resonanz zu bezeichnen, ohne einen nahen Pol nachzuweisen, oder eine echte Resonanz (Pol) mit einem gebundenen Zustand (reellem Eigenwert) oder einem Schwellenphänomen zu verwechseln.

Konsequenz

Resonanzen bestimmen das langzeitliche Asymptotische des Wellenverlaufs und treten als Pole in spektralen Entwicklungen auf; sie steuern Zerfallsraten, Resonanzentwicklungen und erfassen metastabile Phänomene in offenen Systemen.

Umkehrung

Das Fehlen von Resonanzen nahe der reellen Achse bedeutet schnellere Dispersion und keine langlebigen Quasi-Moden; in geschlossenen (kompakten) Systemen sind die entsprechenden Objekte echte Eigenwerte auf der reellen Achse statt komplexer Resonanzen.

Abgrenzung

Die Definition setzt einen Rahmen voraus, der analytische Fortsetzung erlaubt (z. B. meromorphe Fortsetzung des Resolvents mittels komplexer Skalierung oder analytischer Fredholm-Theorie); in rein diskreten oder nicht-analytischen Kontexten reduziert sich der Begriff oft auf die Eigenwerttheorie.

Semantische Spannung

Steht im semantischen Wettbewerb mit 'Eigenwert' und mit dem heuristischen Gebrauch von 'Resonanz' in experimentellen Spektren; mathematisch sind Resonanzen analytisch definierte Pole, nicht bloß beobachtete Spitzen oder numerische Artefakte.

Synthese

Streuungsresonanzen sind komplexe Spektralpole analytisch fortgesetzter Streuoperatoren, die Frequenz und Zerfall metastabiler Zustände in offenen Systemen kodieren; sie überbrücken die Vorstellung von Eigenwerten in geschlossenen Systemen und das beobachtbare Langzeitverhalten der Streuung.