Une technique pour trouver des points stationnaires (extrémums ou points selles) d'une fonction différentiable sous une ou plusieurs contraintes d'égalité en introduisant des variables auxiliaires multiplicateurs de Lagrange et en résolvant le système obtenu en annulant les gradients du lagrangien.

Principe

En un extremum contraint intérieur où les contraintes sont régulières, le gradient de la fonction objectif est une combinaison linéaire des gradients des contraintes ; autrement dit, grad f = sum_i λ_i grad g_i, obtenu comme points critiques de f - sum_i λ_i g_i.

Démonstration

Pour maximiser f(x,y)=xy sous la contrainte x+y=1, former L(x,y,λ)=xy-λ(x+y-1), poser les dérivées partielles nulles et résoudre : y-λ=0, x-λ=0, x+y-1=0, donnant x=y=1/2 et λ=1/2 comme point stationnaire contraint.

Mauvaise application

Ignorer les qualifications de contrainte (par exemple lorsque les gradients des contraintes sont linéairement dépendants), appliquer la méthode sur des points frontières de l'ensemble admissible sans vérification, ou traiter des contraintes non différentiables comme lisses conduit à des conclusions erronées.

Conséquence

Les problèmes d'optimisation sous contraintes se ramènent à la résolution d'un système d'équations en variables originales et multiplicateurs ; la méthode fournit des conditions nécessaires qui repèrent souvent des candidats aux extrémums et orientent l'analyse d'ordre supérieur ou globale.

Inversion

La perspective inverse traite les multiplicateurs comme des prix ou sensibilités : au lieu d'éliminer les contraintes, on interprète λ comme la valeur marginale de la relaxation d'une contrainte ; dans la dualité d'optimisation, les multiplicateurs deviennent des variables centrales du problème dual.

Limite

S'applique aux objectifs différentiables avec contraintes d'égalité et exige la régularité (gradients de contraintes indépendants) pour les conditions nécessaires standard ; les inégalités nécessitent les généralisations de Karush–Kuhn–Tucker et les problèmes non lisses d'autres outils.

Tension sémantique

On confond souvent la méthode des multiplicateurs de Lagrange avec des méthodes de pénalisation ou de barrière ; la tension réside entre la stationnarité contrainte exacte via des multiplicateurs et l'application approchée par pénalisation ou heuristiques numériques.

Synthèse

Introduire des multiplicateurs de Lagrange transforme un problème d'optimisation à contraintes d'égalité en un système stationnaire augmenté grad_x L = 0, grad_λ L = 0 ; cela fournit des conditions algébriques nécessaires qui exposent des candidats aux extrémums contraints et interprètent les contraintes en termes de valeurs marginales.