Una técnica para hallar puntos estacionarios (extremos o puntos de silla) de una función diferenciable sujetos a una o varias restricciones de igualdad introduciendo variables auxiliares —multiplicadores de Lagrange— y resolviendo el sistema donde se anulan los gradientes del lagrangiano.

Principio

En un extremo restringido interior y regular, el gradiente del objetivo es una combinación lineal de los gradientes de las restricciones; equivalentemente, grad f = Σ_i λ_i grad g_i, obtenido como puntos críticos de f - Σ_i λ_i g_i.

Demostración

Para maximizar f(x,y)=xy sujeto a x+y=1, formar L(x,y,λ)=xy-λ(x+y-1), imponer derivadas parciales nulas y resolver: y-λ=0, x-λ=0, x+y-1=0, lo que da x=y=1/2 y λ=1/2 como punto estacionario restringido.

Aplicación incorrecta

Ignorar las condiciones de cualificación de las restricciones (por ejemplo cuando los gradientes son linealmente dependientes), aplicar la técnica en puntos frontera sin comprobar o tratar restricciones no diferenciables como suaves conduce a errores.

Consecuencia

Los problemas de optimización con restricciones se reducen a resolver un sistema de ecuaciones en las variables originales y los multiplicadores; el método proporciona condiciones necesarias que suelen localizar candidatos a extremos y orientan el análisis de segundo orden o global.

Inversión

La perspectiva inversa considera a los multiplicadores como precios o sensibilidades: en lugar de eliminar restricciones, se interpreta λ como el valor marginal de relajar una restricción; en dualidad, los multiplicadores son variables centrales del problema dual.

Límite

Se aplica a objetivos diferenciables con restricciones de igualdad y exige regularidad (gradientes de restricciones independientes) para las condiciones necesarias estándar; las desigualdades requieren las generalizaciones Karush–Kuhn–Tucker y los problemas no suaves otras herramientas.

Tensión semántica

A menudo se confunde el método de multiplicadores de Lagrange con métodos de penalización o barrera; la tensión está entre la estacionariedad exacta mediante multiplicadores y la imposición aproximada por penalización o heurísticas numéricas.

Síntesis

Introducir multiplicadores de Lagrange convierte la optimización con restricciones de igualdad en un sistema estacionario aumentado grad_x L = 0, grad_λ L = 0; esto da condiciones algebraicas necesarias que revelan candidatos a extremos restringidos e interpretan las restricciones como valores marginales.