Eine Technik zur Bestimmung stationärer Punkte (Extrema oder Sattelpunkte) einer differenzierbaren Funktion unter einer oder mehreren Gleichheitsnebenbedingungen durch Einführung zusätzlicher Lagrange-Multiplikator-Variablen und Lösen des Systems, das durch das Verschwinden der Gradienten des Lagrange-Funktionals entsteht.

Prinzip

An einem inneren, regulären, eingeschränkten Extrem ist der Gradient des Zielfunktions eine Linearkombination der Gradienten der Nebenbedingungen; äquivalent gilt grad f = Σ_i λ_i grad g_i, als kritische Punkte von f - Σ_i λ_i g_i.

Demonstration

Zur Maximierung von f(x,y)=xy unter x+y=1 bildet man L(x,y,λ)=xy-λ(x+y-1), setzt partielle Ableitungen gleich null und löst: y-λ=0, x-λ=0, x+y-1=0, woraus x=y=1/2 und λ=1/2 als eingeschränkter stationärer Punkt folgen.

Fehlanwendung

Das Ignorieren von Nebenbedingungsqualifikationen (z. B. bei linear abhängigen Gradienten), die Anwendung der Methode an Randpunkten ohne Prüfung oder das Behandeln nicht-differenzierbarer Nebenbedingungen als glatt führt zu falschen Schlüssen.

Konsequenz

Eingeschränkte Optimierungsprobleme reduzieren sich auf das Lösen eines Gleichungssystems in den Originalvariablen und Multiplikatoren; die Methode liefert notwendige Bedingungen, die oft Kandidaten für Extrema liefern und die weitere Analyse leiten.

Umkehrung

Die inverse Sichtweise sieht Multiplikatoren als Preise oder Sensitivitäten: statt Nebenbedingungen zu eliminieren, interpretiert man λ als marginalen Wert der Lockerung einer Nebenbedingung; in der Optimierungsdualität sind Multiplikatoren zentrale Variablen des Dualproblems.

Abgrenzung

Gilt für differenzierbare Zielfunktionen mit Gleichheitsnebenbedingungen und verlangt Regularität (unabhängige Nebenbedingungsgradienten) für die üblichen notwendigen Bedingungen; Ungleichungen erfordern Karush–Kuhn–Tucker-Verallgemeinerungen, nichtglatte Probleme andere Methoden.

Semantische Spannung

Oft wird die Lagrange-Multiplikatoren-Methode mit Straf- oder Barrieremethoden verwechselt; die Spannung besteht zwischen exakter stationärer Behandlung durch Multiplikatoren und approximativer Durchsetzung per Penalisierung.

Synthese

Durch Einführung von Lagrange-Multiplikatoren wird ein gleichungsbeschränktes Optimierungsproblem in ein augmentiertes stationäres System grad_x L = 0, grad_λ L = 0 überführt; es liefert notwendige algebraische Bedingungen, identifiziert Kandidaten für eingeschränkte Extrema und deutet Nebenbedingungen als marginale Werte.