Un entier non négatif égal au rang d'un groupe d'homologie dans une dimension donnée ; il compte les cycles indépendants de dimension k à modulo des bord (la partie libre du groupe d'homologie, vue sur Z ou sur un corps de coefficients choisi).

Principe

Les nombres de Betti quantifient les 'trous' topologiques en mesurant la partie libre (rang) des groupes d'homologie, fournissant des invariants algébriques stables par homotopie.

Démonstration

Pour le tore T^2 les nombres de Betti sont b0=1, b1=2, b2=1 ; pour la sphère S^2 on a b0=1, b1=0, b2=1. En homologie persistante, les nombres de Betti à une échelle donnée comptent les cycles indépendants persistants à cette échelle.

Mauvaise application

Compter les éléments de torsion comme contribuant aux nombres de Betti (ce qui est faux), omettre de préciser l'anneau ou le corps de coefficients (le rang peut en dépendre), ou interpréter les nombres de Betti comme des invariants exhaustifs de la forme.

Conséquence

Les nombres de Betti fournissent des minorants pour le rang des cycles, apparaissent dans la caractéristique d'Euler par des sommes alternées, et servent d'indicateurs calculables et invariants par homotopie en topologie appliquée et classification.

Inversion

La perspective inverse met l'accent sur la torsion en homologie : un espace avec des nombres de Betti nuls en toutes dimensions positives peut tout de même posséder de la torsion non triviale ; des nombres de Betti élevés ne révèlent pas la torsion.

Limite

Définis lorsque les groupes d'homologie existent (simpliciale, singulière, cellulaire, etc.) ; pour des espaces à homologie de type infini, les rangs peuvent être infinis et il faut préciser la dimension et les coefficients.

Tension sémantique

Tension entre nombres de Betti et autres invariants comme les sous-groupes de torsion, la caractéristique d'Euler (combinaison alternée des nombres de Betti) et des invariants plus fins tels que l'homologie persistante ou l'homologie avec coefficients différents.

Synthèse

Un nombre de Betti est le compte entier des trous indépendants de dimension k détectés par le rang de l'homologie dans un système de coefficients donné, constituant un résumé algébrique concis de la connectivité en dimension k.