Eine nichtnegative ganze Zahl, gleich dem Rang einer Homologiegruppe in einer gegebenen Dimension; sie zählt unabhängige k-dimensionale Zyklen modulo Ränder (der Rang über Z oder über ein gewähltes Koeffizientenfeld).

Prinzip

Betti-Zahlen quantifizieren topologische »Löcher«, indem sie den freien Teil (Rang) der Homologiegruppen messen und so homotopieinvariante algebraische Invarianten liefern.

Demonstration

Für den Torus T^2 sind die Betti-Zahlen b0=1, b1=2, b2=1; für die 2-Sphäre S^2 gilt b0=1, b1=0, b2=1. In der persistenten Homologie zählen Betti-Zahlen bei fester Skala die persistenten unabhängigen Zyklen dieser Skala.

Fehlanwendung

Torsionselemente als Beitrag zu Betti-Zahlen werten (das ist falsch), das Koeffizientenring oder -feld nicht angeben (der Rang kann davon abhängen) oder Betti-Zahlen als vollständige Invarianten der Gestalt auffassen.

Konsequenz

Betti-Zahlen liefern Untergrenzen für Ränge von Zyklengruppen, erscheinen in der Euler-Charakteristik als alternierende Summe und dienen als berechenbare, homotopieinvariante Beschreiber in Klassifikation und angewandter Topologie.

Umkehrung

Die Umkehrperspektive konzentriert sich auf Torsion in der Homologie: Ein Raum mit verschwindenden Betti-Zahlen in allen positiven Dimensionen kann dennoch nichttriviale Torsion besitzen; hohe Betti-Zahlen verschleiern Torsionsdetails.

Abgrenzung

Definiert dort, wo Homologie definiert ist (simplicial, singulär, zellulär usw.); bei Räumen mit unendlich erzeugter Homologie können die Ränge unendlich sein, und Dimension sowie Koeffizienten sind zu präzisieren.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Betti-Zahlen und anderen Invarianten wie Torsionsuntergruppen, der Euler-Charakteristik (alternierende Kombination der Betti-Zahlen) und feineren Invarianten wie persistenter Homologie oder Homologie mit verschiedenen Koeffizienten.

Synthese

Eine Betti-Zahl ist die ganze Zahl, die die unabhängigen k-dimensionalen Löcher zählt, wie sie durch den Rang der Homologie in einem gewählten Koeffizientenbereich detektiert werden — eine knappe algebraische Zusammenfassung der k-dimensionalen Konnektivität.