Un entero no negativo igual al rango de un grupo de homología en una dimensión dada; cuenta ciclos independientes de dimensión k módulo bordes (la parte libre del grupo de homología, vista sobre Z o sobre un campo de coeficientes elegido).

Principio

Los números de Betti cuantifican los 'huecos' topológicos midiendo la parte libre (rango) de los grupos de homología, proporcionando invariantes algebraicos estables bajo homotopía.

Demostración

Para el toro T^2 los números de Betti son b0=1, b1=2, b2=1; para la esfera S^2 son b0=1, b1=0, b2=1. En homología persistente, los números de Betti a una escala fija cuentan ciclos independientes persistentes a esa escala.

Aplicación incorrecta

Contabilizar elementos de torsión como si contribuyeran a los números de Betti (no lo hacen), omitir especificar el anillo o campo de coeficientes (el rango puede depender de ello), o tratar los números de Betti como invariantes completos de la forma.

Consecuencia

Los números de Betti dan cotas inferiores para los rangos de ciclos, aparecen en la característica de Euler mediante sumas alternadas y sirven como descriptores calculables e invariantes por homotopía en clasificación y topología aplicada.

Inversión

La perspectiva inversa se centra en la torsión en la homología: un espacio con números de Betti nulos en todas las dimensiones positivas aún puede tener torsión no trivial; números de Betti altos no reflejan la torsión.

Límite

Definidos cuando existen los grupos de homología (simplicial, singular, celular, etc.); para espacios con homología de tipo no finito los rangos pueden ser infinitos y hay que especificar dimensión y coeficientes.

Tensión semántica

Tensión entre números de Betti y otros invariantes como los subgrupos de torsión, la característica de Euler (combinación alternada de números de Betti) y invariantes más finos como la homología persistente o homología con distintos coeficientes.

Síntesis

Un número de Betti es el recuento entero de los huecos independientes de dimensión k detectados por el rango de la homología en un sistema de coeficientes dado, resumiento algebraicamente la conectividad en dimensión k.