Une homotopie H : X × [0,1] → X qui déforme un espace topologique X sur un sous-espace A telle que H(x,0)=x pour tout x, H(x,1)∈A pour tout x, et H(a,t)=a pour tout a∈A et t∈[0,1] ; autrement dit, une déformation continue de X qui laisse A fixe et aboutit à une rétraction sur A.

Principe

Une rétraction par déformation est le témoin concret d'une équivalence d'homotopie entre X et le sous-espace A : l'inclusion A ↪ X devient l'inverse à homotopie de la rétraction finale, si bien que X et A ont le même type d'homotopie et les mêmes invariants liés.

Démonstration

Le plan privé de l'origine R^2 \ {0} se rétracte par déformation sur le cercle unité S^1 par l'homotopie radiale H((r,θ),t)=((1−t)r + t,θ) qui fixe les points de S^1 et fait glisser chaque rayon vers le rayon 1, montrant que les π_n du plan privé égalent ceux de S^1.

Mauvaise application

Confondre rétraction par déformation et simple rétraction (une application continue r : X → A avec r|A = id), ou supposer qu'une rétraction implique une rétraction par déformation, ou encore penser qu'une rétraction par déformation entraîne un homéomorphisme entre X et A.

Conséquence

Si A est un rétracte par déformation de X alors l'inclusion induit des isomorphismes sur les groupes d'homotopie et l'homologie singulière ; de nombreux invariants se réduisent à ceux de A, simplifiant calculs et classifications à homotopie près.

Inversion

Le point de vue inverse étudie les espaces qui ne peuvent pas se rétracter sur un sous-espace : un espace peut admettre une rétraction mais pas de rétraction par déformation, ou l'inclusion peut ne pas être une équivalence d'homotopie ; ces inversions montrent que la complexité topologique essentielle subsiste.

Limite

Nécessite une homotopie continue définie sur tout le produit X × [0,1] et qui fixe A point par point à tout instant. Exclut des notions plus faibles comme les rétractes par déformation fortes imposant des conditions supplémentaires, et n'affirme aucune régularité supplémentaire (lissité) sans structure additionnelle.

Tension sémantique

Souvent confondu avec rétraction, rétracte par déformation fort et équivalence d'homotopie ; la rétraction par déformation est plus forte qu'une simple rétraction (elle fournit une homotopie) mais plus faible qu'un homéomorphisme ; il faut préciser la notion employée.

Synthèse

La rétraction par déformation est une déformation continue explicite qui écrase X sur A en fixant A point par point ; elle certifie que X et A partagent le type d'homotopie et permet de remplacer X par le sous-espace plus simple A pour l'étude des propriétés invariantes par homotopie.