Una homotopía H: X × [0,1] → X que deforma un espacio topológico X sobre un subespacio A de modo que H(x,0)=x para todo x, H(x,1)∈A para todo x, y H(a,t)=a para todo a∈A y t∈[0,1]; es decir, una deformación continua de X que deja A fijo y termina en una retracción sobre A.

Principio

Una retracción por deformación es un testigo explícito de una equivalencia por homotopía entre X y el subespacio A: la inclusión A ↪ X se vuelve homotópicamente inversa a la retracción final, por lo que X y A tienen el mismo tipo de homotopía y los mismos invariantes correspondientes.

Demostración

El plano con un punto eliminado R^2 \ {0} se retrae por deformación sobre el círculo unidad S^1 mediante la homotopía radial H((r,θ),t)=((1−t)r + t,θ) que fija puntos de S^1 y desliza cada rayo hasta el radio 1, mostrando que los π_n del plano punteado coinciden con los de S^1.

Aplicación incorrecta

Confundir retracción por deformación con mera retracción (un mapa continuo r: X→A con r|A = id) y asumir que una retracción implica una retracción por deformación, o suponer que la retracción por deformación implica un homeomorfismo entre X y A.

Consecuencia

Si A es retracción por deformación de X entonces la inclusión induce isomorfismos en grupos de homotopía y homología singular; muchos invariantes se reducen a los de A, simplificando cálculos y clasificaciones hasta homotopía.

Inversión

El punto de vista invertido estudia espacios que no pueden retraerse sobre un subespacio: un espacio puede tener una retracción pero ninguna retracción por deformación, o la inclusión puede no ser una equivalencia por homotopía; tales inversiones muestran que persiste complejidad topológica esencial.

Límite

Requiere una homotopía continua definida en todo el producto X × [0,1] que mantenga A fijo punto por punto en todo momento. Excluye nociones más débiles y no garantiza regularidad adicional (suavidad) sin estructura adicional.

Tensión semántica

A menudo se confunde con retracción, retracción fuerte por deformación y equivalencia por homotopía; la retracción por deformación es más fuerte que una simple retracción (proporciona una homotopía) pero más débil que un homeomorfismo; hay que precisar la noción usada.

Síntesis

Una retracción por deformación es una deformación continua explícita que colapsa X sobre A fijando A punto por punto; certifica que X y A comparten tipo de homotopía y permite reemplazar X por el subespacio más simple A al estudiar propiedades invariantes por homotopía.