Eine Homotopie H: X × [0,1] → X, die einen topologischen Raum X auf einen Teilraum A so verformt, dass H(x,0)=x für alle x, H(x,1)∈A für alle x und H(a,t)=a für alle a∈A und t∈[0,1]; mit anderen Worten eine stetige Verformung von X, die A festlässt und in eine Retraktion auf A endet.

Prinzip

Eine Deformationsretraktion ist ein konkreter Zeuge einer Homotopieäquivalenz zwischen X und dem Teilraum A: die Inklusion A ↪ X wird zum homotopischen Inversen der abschließenden Retraktion, sodass X und A denselben Homotopietyp und verwandte Invarianten haben.

Demonstration

Die punktierte Ebene R^2 \ {0} deformationsretractet auf den Einheitskreis S^1 durch die radiale Homotopie H((r,θ),t)=((1−t)r + t,θ), die Punkte von S^1 fixiert und jeden Strahl auf Radius 1 schiebt, womit π_n der punktierten Ebene gleich π_n von S^1 ist.

Fehlanwendung

Eine Deformationsretraktion mit bloßer Retraktion (eine stetige Abbildung r: X→A mit r|A = id) verwechseln und annehmen, eine Retraktion impliziere stets eine Deformationsretraktion, oder annehmen, eine Deformationsretraktion mache X und A homöomorph.

Konsequenz

Ist A eine Deformationsretraktion von X, so induziert die Inklusion Isomorphismen auf Homotopiegruppen und singulärer Homologie; viele Invarianten lassen sich auf A reduzieren, was Berechnungen und Klassifikationen bis auf Homotopie erleichtert.

Umkehrung

Die Umkehrung betrachtet Räume, die nicht auf einen Teilraum rektrahieren können: Ein Raum kann eine Retraktion besitzen, aber keine Deformationsretraktion, oder die Inklusion ist keine Homotopieäquivalenz; solche Fälle zeigen, dass topologische Komplexität erhalten bleibt.

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine stetige Homotopie auf dem gesamten Produkt X × [0,1], die A jederzeit punktweise festhält. Ausgeschlossen sind schwächere Konzepte oder zusätzliche Regularitätsansprüche (z. B. Glattheit) ohne weitere Struktur.

Semantische Spannung

Wird oft mit Retraktion, starker Deformationsretraktion und Homotopieäquivalenz vermischt; die Deformationsretraktion ist stärker als eine bloße Retraktion (liefert eine Homotopie), aber schwächer als ein Homöomorphismus – die verwendete Bedeutung sollte geklärt werden.

Synthese

Eine Deformationsretraktion ist eine explizite stetige Verformung, die X auf A zusammenzieht und A punktweise fixiert; sie belegt die Gleichheit des Homotopietyps von X und A und erlaubt, X durch den einfacheren Teilraum A in homotopieinvarianten Fragen zu ersetzen.