Assertion selon laquelle tout filtre propre sur une algèbre de Boole ou sur l'ensemble des parties d'un ensemble peut être étendu en un ultrafiltre, autrement dit toute famille de parties ayant la propriété d'intersection finie est contenue dans un ultrafiltre ; utilisée pour construire des ultraproduits et des ultrafiltres non principaux.

Principe

Principe d'extension/maximalité : tout filtre peut être étendu en un filtre propre maximal (un ultrafiltre) par des arguments de type Zorn ou par le principe équivalent des idéaux premiers d'algèbres de Boole ; un ultrafiltre décide toute partie (soit elle, soit son complément appartient à l'ultrafiltre).

Démonstration

Partant du filtre des parties cofinies de N, l'étendre en un ultrafiltre qui, s'il est non principal, ne contient pas d'ensembles finis et fournit un ultraproduit de structures sur N qui reflète les propriétés du premier ordre par le théorème de Łoś ; l'existence de tels ultrafiltre non principaux est garantie par le lemme mais non constructive en ZF.

Mauvaise application

Considérer que le lemme fournit des constructions explicites d'ultrafiltres non principaux, ou supposer son équivalence avec l'Axiome du Choix complet ; autre mauvaise utilisation : employer des arguments par ultrafiltre sans vérifier qu'ils sont valides dans le cadre choisi de théorie des ensembles (ZF vs ZFC).

Conséquence

Permet l'existence d'ultrafiltres qui sous-tendent les constructions d'ultraproduits en théorie des modèles, des arguments de compacité et de nombreux résultats combinatoires et topologiques (par ex. Stone–Čech), mais l'existence d'ultrafiltres non principaux requiert des principes proches du choix.

Inversion

Le point de vue converse est la propriété d'intersection finie : à partir de familles ayant cette propriété on cherche des familles maximales (ultrafiltres) ; nier le lemme revient à des modèles de ZF où certains filtres propres ne peuvent pas être prolongés en ultrafiltres.

Limite

Équivalent en ZF au principe des idéaux premiers d'algèbres de Boole, strictement plus faible que l'Axiome du Choix ; il ne fournit pas d'ultrafiltres constructifs et ses conséquences (existence d'ultrafiltres non principaux sur N) peuvent échouer dans des modèles sans axiomes proches du choix.

Tension sémantique

Souvent confondu avec l'Axiome du Choix ou le lemme de Zorn ; bien que liés par équivalences relatives au choix, le lemme de l'ultrafiltre est strictement plus faible que l'AC complet. Il faut aussi distinguer les ultrafiltres principaux (triviaux) des ultrafiltres non principaux (plus puissants et non constructifs).

Synthèse

Le lemme de l'ultrafiltre affirme que tout filtre propre se prolonge en un filtre maximal décidant (ultrafiltre) ; c'est un principe d'extension non constructif équivalent au principe des idéaux premiers dans les algèbres de Boole qui permet les ultraproduits et de nombreux arguments de compacité sous hypothèses proches du choix.