Die Aussage, dass jeder echte Filter auf einer Booleschen Algebra oder auf der Potenzmenge einer Menge zu einem Ultrafilter fortgesetzt werden kann; äquivalent dazu, dass jede Familie von Mengen mit der endlichen Schnitt-Eigenschaft in einem Ultrafilter enthalten ist; häufig benutzt zur Konstruktion von Ultraprodukten und nicht-prinzipalen Ultrafiltern.

Prinzip

Verlängerungs-/Maximalitätsprinzip: Jeder Filter lässt sich mittels Zorn-Argument oder durch das äquivalente Prinzip der primen Ideale in einer Booleschen Algebra zu einem maximalen echten Filter (Ultrafilter) erweitern; Ultrafilter entscheiden jede Teilmenge (entweder die Menge oder ihr Komplement liegt im Ultrafilter).

Demonstration

Ausgehend vom Filter der kofiniten Teilmengen von N erweitert man ihn zu einem Ultrafilter, der falls nicht-prinzipal keine endlichen Mengen enthält und ein Ultraprodukt von Strukturen über N liefert, das mittels Łoś' Satz erste-Ordnungseigenschaften widerspiegelt; solche nicht-prinzipalen Ultrafilter werden durch das Lemma garantiert, sind aber in ZF nicht konstruktiv.

Fehlanwendung

Das Lemma so zu verstehen, dass es explizite Konstruktionen nicht-prinzipaler Ultrafilter liefert, oder seine Gleichsetzung mit dem vollen Auswahlaxiom anzunehmen; ein weiterer Fehler ist, Ultrafiltermethoden anzuwenden, ohne zu prüfen, ob der gewählte mengen-theoretische Rahmen (ZF vs. ZFC) das zulässt.

Konsequenz

Sichert die Existenz von Ultrafiltern, die Ultraprodukte in der Modelltheorie ermöglichen, und liefert kompakteheitsartige Folgerungen sowie zahlreiche kombinatorische und topologische Resultate (z. B. Stone–Čech-Kompaktifizierung), wobei die Existenz nicht-prinzipaler Ultrafilter wahl-ähnliche Prinzipien erfordert.

Umkehrung

Die Umkehrsicht ist die Eigenschaft des endlichen Schnitts: Aus Familien mit dieser Eigenschaft sucht man maximale Familien (Ultrafilter); die Negation des Lemmas bedeutet Modelle der ZF, in denen manche echte Filter nicht zu Ultrafiltern erweitert werden können.

Abgrenzung

In ZF äquivalent zum Prinzp der primen Ideale in Booleschen Algebren und streng schwächer als das Auswahlaxiom. Das Lemma liefert keine konstruktiven Ultrafilter, und seine Konsequenzen (Existenz nicht-prinzipaler Ultrafilter auf N) können in Modellen ohne wahlartige Axiome scheitern.

Semantische Spannung

Wird oft mit dem Auswahlaxiom oder Zorns Lemma verwechselt; zwar stehen diese in Beziehung, doch ist das Ultrafilter-Lemma streng schwächer als das vollständige AC. Außerdem ist zwischen prinzipalen (trivialen) und nicht-prinzipalen (stärker, nicht konstruktiv) Ultrafiltern zu unterscheiden.

Synthese

Das Ultrafilter-Lemma besagt, dass jeder echte Filter zu einem maximal entscheidenden Filter (Ultrafilter) erweitert werden kann; es ist ein nicht-konstruktives Erweiterungsprinzip, äquivalent zum Prinzip der primen Ideale in Booleschen Algebren, das Ultraprodukte und viele kompaktheitsartige Argumente unter wahlähnlichen Voraussetzungen ermöglicht.