Aserción de que todo filtro propio en una álgebra booleana o en el conjunto de partes de un conjunto puede extenderse a un ultrafiltro, equivalente a que toda familia de conjuntos con la propiedad de intersección finita está contenida en un ultrafiltro; se usa para construir ultraproductos y ultrafiltros no principales.

Principio

Uso de extensión/maximalidad: cualquier filtro puede extenderse a un filtro propio maximal (un ultrafiltro) mediante argumentos tipo Zorn o mediante el principio equivalente del ideal primo booleano; los ultrafiltros 'deciden' cada subconjunto (o el conjunto o su complemento está en el ultrafiltro).

Demostración

Dado el filtro de subconjuntos cofinitos de N, se extiende a un ultrafiltro que, si es no principal, no contiene conjuntos finitos y proporciona un ultraproducto de estructuras sobre N que refleja propiedades de primer orden por el teorema de Łoś; tales ultrafiltros no principales están garantizados por el lema pero son no constructivos en ZF.

Aplicación incorrecta

Tratar el lema como si diera construcciones explícitas de ultrafiltros no principales, o suponer que equivale al Axioma de Elección completo; otra mala aplicación es usar argumentos de ultrafiltro sin verificar si funcionan en el marco elegido de teoría de conjuntos (ZF vs ZFC).

Consecuencia

Conduce a la existencia de ultrafiltros que sostienen las construcciones de ultraproductos en teoría de modelos, argumentos de compacidad y muchos resultados combinatorios y topológicos (p. ej. compactificación de Stone–Čech), pero la existencia de ultrafiltros no principales requiere principios similares a la elección.

Inversión

La visión inversa es la propiedad de intersección finita: a partir de familias con esa propiedad se buscan familias máximales (ultrafiltros); negar el lema equivale a modelos de ZF donde algunos filtros propios no pueden extenderse a ultrafiltros.

Límite

Equivalente en ZF al principio del ideal primo booleano, y estrictamente más débil que el Axioma de Elección; no produce ultrafiltros constructivos y sus consecuencias (existencia de ultrafiltros no principales en N) pueden fallar en modelos de teoría de conjuntos sin axiomas tipo elección.

Tensión semántica

A menudo se confunde con el Axioma de Elección o el lema de Zorn; aunque relacionados, el lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que AC completo. También hay que distinguir entre ultrafiltros principales (triviales) y ultrafiltros no principales (más potentes y no constructivos).

Síntesis

El lema del ultrafiltro afirma que todo filtro propio se extiende a un filtro maximal que decide (un ultrafiltro); es un principio de extensión no constructivo, equivalente al principio del ideal primo booleano, que permite ultraproductos y numerosos argumentos de compacidad bajo hipótesis semejantes a la elección.