Une factorisation d'une matrice m×n (réelle ou complexe) A sous la forme A = U Σ V*, où U et V sont unitaires (orthogonaux dans le cas réel) et Σ est une matrice diagonale (éventuellement rectangulaire) à entrées réelles non négatives appelées valeurs singulières ; elle encode l'action de A sur des directions orthogonales.

Principe

Diagonaliser la matrice positive semi-définie A* A pour obtenir les vecteurs singuliers droits orthonormés et les valeurs singulières non négatives (racines des valeurs propres de A* A) ; les vecteurs singuliers gauche s'obtiennent en appliquant A aux vecteurs singuliers droits et en normalisant.

Démonstration

Pour une matrice 2×2 A, calculez A* A, trouvez ses paires propres (v_i, λ_i), posez σ_i = √λ_i, prenez V dont les colonnes sont v_i, formez U = A V Σ^−1 sur les valeurs singulières non nulles ; tronquer les petits σ_i donne une meilleure approximation de rang réduit.

Mauvaise application

Croire que U, Σ, V sont déterminés de façon unique sans tenir compte des ambiguïtés de signe et d'ordre pour les vecteurs singuliers et pour les valeurs singulières égales ; utiliser la SVD sans précaution sur des problèmes non linéaires ou interpréter des petites valeurs singulières comme zéros numériques sans analyse d'erreur est trompeur.

Conséquence

Fournit des bases orthonormées canoniques du domaine et du codomaine alignées sur l'action de A, sous-tend l'approximation optimale de rang réduit, le calcul stable de pseudo-inverses, l'analyse de conditionnement et de nombreuses techniques d'analyse de données (composantes principales, modèles de facteurs latents).

Inversion

La décomposition en valeurs propres de A elle-même est une idée inverse mais n'est applicable que lorsque A est normale (par exemple symétrique) ; renoncer à la SVD revient à perdre la factorisation orthogonale et la géométrie explicite des directions d'étirement.

Limite

Existe pour toute matrice finie sur R ou C ; en contexte infinidimensionnel une décomposition analogue exige des opérateurs compacts et des hypothèses fonctionnelles supplémentaires ; la SVD est algébrique-linéaire et ne se généralise pas directement aux applications non linéaires.

Tension sémantique

Se situe en tension avec la décomposition spectrale quand la matrice est carrée et normale ; la SVD existe toujours et fournit des directions singulières même lorsque la décomposition propre échoue ou n'est pas orthogonale, mais la décomposition spectrale transmet des structures algébriques du spectre que la SVD n'exprime pas.

Synthèse

Une factorisation orthogonale universelle A = U Σ V* qui met au jour les magnitudes et directions selon lesquelles A étire des directions orthogonales, essentielle pour l'approximation optimale, la pseudo-inversion et l'étude numérique du conditionnement.