Eine Faktorisierung einer m×n-Matrix A (reell oder komplex) als A = U Σ V*, wobei U und V unitär (im reellen Fall orthonormiert) sind und Σ eine diagonale (rechteckige) Matrix mit nichtnegativen reellen Einträgen, den Singulärwerten, ist; sie beschreibt die Wirkung von A auf orthogonale Richtungen.

Prinzip

Diagonalisiere die positive semidefinite Matrix A* A, um orthonormale rechte Singulärvektoren und nichtnegative Singulärwerte zu erhalten (Wurzeln der Eigenwerte von A* A); linke Singulärvektoren erhält man durch Anwenden von A auf rechte Singulärvektoren und Normierung.

Demonstration

Für eine 2×2-Matrix A berechne A* A, bestimme Eigenpaare (v_i, λ_i), setze σ_i = √λ_i, bilde V aus den Spalten v_i und bestimme U = A V Σ^−1 für die von null verschiedenen Singulärwerte; das Abschneiden kleiner σ_i ergibt eine optimale Niedrigrangapproximation.

Fehlanwendung

Die Annahme, U, Σ, V seien eindeutig, übersieht Vorzeichen- und Ordnungsambiguitäten bei Singulärvektoren und bei mehrfachen Singulärwerten; die SVD unkritisch auf nichtlineare Probleme anzuwenden oder kleine Singulärwerte ohne Fehleranalyse als numerische Nullen zu behandeln, ist irreführend.

Konsequenz

Liefernt kanonische orthonormale Basen von Definitions- und Wertebereich, begründet optimale Niedrigrangapproximationen, stabile Pseudoinverse-Berechnung, Konditionsanalyse und viele datenanalytische Verfahren (Hauptkomponentenanalyse, latente Faktor-Modelle).

Umkehrung

Die Eigenwertzerlegung von A selbst ist eine alternative Idee, die aber nur für normale Matrizen anwendbar ist; auf die SVD zu verzichten heißt, die orthogonale Zerlegung und die direkte Geometrie der Streckung entlang orthogonaler Achsen zu verlieren.

Abgrenzung

Existiert für jede endliche Matrix über R oder C; im unendlichdimensionalen Kontext erfordert ein Analogon kompakte Operatoren und zusätzliche funktionalanalytische Voraussetzungen; die SVD ist linear-algebraisch und verallgemeinert nicht unmittelbar auf nichtlineare Abbildungen.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zur Eigenwertzerlegung bei quadratischen, normalen Matrizen: SVD existiert immer und liefert singuläre Richtungen auch wenn die Eigenzerlegung versagt oder nicht orthogonal ist, während die Eigenzerlegung spektrumsspezifische algebraische Informationen liefert, die SVD nicht direkt darstellt.

Synthese

Eine universelle orthogonale Zerlegung A = U Σ V*, die die Größen und Richtungen offenlegt, nach denen A orthogonale Eingaberichtungen streckt; zentral für optimale Approximationen, Pseudoinverse und numerische Analyse des Konditionierens.