Una factorización de una matriz m×n (real o compleja) A como A = U Σ V*, donde U y V son unitarios (ortogonales en el caso real) y Σ es una matriz diagonal (rectangular) con entradas reales no negativas llamadas valores singulares; codifica la acción de A sobre direcciones ortogonales.

Principio

Diagonalizar la matriz semidefinida positiva A* A para obtener los vectores singulares derechos ortonormales y los valores singulares no negativos (raíces de los autovalores de A* A); los vectores singulares izquierdos se obtienen aplicando A a los vectores singulares derechos y normalizando.

Demostración

Para una matriz 2×2 A, calcule A* A, encuentre sus pares propios (v_i, λ_i), tome σ_i = √λ_i, forme V con columnas v_i y obtenga U = A V Σ^−1 en las valores singulares no nulos; truncar los σ_i pequeños da la mejor aproximación de rango reducido.

Aplicación incorrecta

Suponer que U, Σ, V están determinados de forma única ignora ambigüedades de signo y orden en los vectores singulares y en valores singulares iguales; usar SVD sin cuidado en problemas no lineales o interpretar valores singulares pequeños como ceros numéricos sin análisis de error es engañoso.

Consecuencia

Proporciona bases ortonormales canónicas para dominio y codominio alineadas con la acción de A, sustenta la aproximación óptima de rango reducido, el cálculo estable de pseudoinversas, el análisis de condicionamiento y muchas técnicas de análisis de datos (PCA, modelos de factores latentes).

Inversión

La descomposición en valores propios de A es la idea inversa pero solo aplicable cuando A es normal; renunciar a la SVD supone perder la factorización ortogonal y la geometría directa del estiramiento de entrada a salida a lo largo de ejes ortogonales.

Límite

Existe para cualquier matriz finita sobre R o C; en contextos de dimensión infinita un análogo requiere operadores compactos y hipótesis funcional-analíticas adicionales; la SVD es algebraico-lineal y no se generaliza directamente a aplicaciones no lineales.

Tensión semántica

Compite con la descomposición espectral cuando la matriz es cuadrada y normal: la SVD siempre existe y ofrece direcciones singulares incluso cuando la descomposición en autovalores falla o no es ortogonal, pero la descomposición espectral transmite estructura algebraica del espectro que la SVD no expresa.

Síntesis

Una factorización ortogonal universal A = U Σ V* que expone las magnitudes y direcciones con que A estira direcciones ortogonales, fundamental para aproximación óptima, pseudoinversas y el análisis numérico del condicionamiento.