Une relation entre deux structures algébriques ou relationnelles indiquant que la première peut être représentée à l'intérieur de la seconde par un homomorphisme injectif qui préserve les opérations et relations pertinentes.

Principe

Un plongement se caractérise par une application injective qui préserve la structure : elle doit être un-à-un, commuter avec les fonctions et préserver relations et constantes, de sorte que les vérités structurelles du domaine demeurent valides dans l'image.

Démonstration

Exemple : un graphe G se plonge dans un graphe H s'il existe une application injective des sommets f : V(G) → V(H) telle que toute arête {u,v} de G s'envoie sur une arête {f(u),f(v)} de H ; cela montre que G est présent comme une sous-configuration fidèle de H.

Mauvaise application

Considérer comme plongement toute application injective des ensembles sous-jacents alors qu'elle ne préserve pas les relations ou fonctions, ou confondre plongement et simple inclusion d'un sous-ensemble qui n'est pas une sous-structure.

Conséquence

Lorsqu'une structure se plonge dans une autre, toute propriété équationnelle ou relationnelle préservée par les homomorphismes et vraie dans la petite structure est vraie dans son image ; les plongements permettent de transférer de nombreux invariants structurels et contre-exemples.

Inversion

La notion inverse est celle de quotient ou d'homomorphisme surjectif qui écrase la structure ; contrairement aux plongements, les quotients identifient des éléments distincts et perdent en général de l'information au lieu de la représenter fidèlement.

Limite

Le plongement est plus faible que l'isomorphisme (l'image n'a pas besoin d'être tout le codomaine) et plus fort que l'homomorphisme arbitraire (doit être injectif et préserver toute la structure) ; il n'est pas nécessairement élémentaire sauf s'il préserve la vérité de toutes les formules du premier ordre.

Tension sémantique

La tension apparaît entre plongement, sous-structure et plongement élémentaire : les plongements exigent l'injectivité et la préservation de la structure mais ne conservent pas nécessairement toutes les formules logiques comme le ferait un plongement élémentaire ; les sous-structures peuvent être de simples inclusions sans application explicite de plongement.

Synthèse

La relation de plongement formalise qu'une structure peut être fidèlement insérée dans une autre au moyen d'une application injective préservant la structure ; elle se situe entre l'homomorphisme simple et l'isomorphisme et sert de notion standard pour reconnaître une copie préservée d'une structure dans une autre.