Eine Relation zwischen zwei algebraischen oder relationalen Strukturen, die aussagt, dass die erste durch einen injektiven Homomorphismus, der die relevanten Operationen und Relationen erhält, in die zweite dargestellt werden kann.

Prinzip

Ein Einbettung ist durch eine injektive, struktur-erhaltende Abbildung gekennzeichnet: sie muss eineindeutig sein, mit Funktionen kommutieren und Relationen sowie Konstanten erhalten, sodass strukturelle Wahrheiten der Ausgangsstruktur in das Bild übergehen.

Demonstration

Beispiel: Ein Graph G lässt sich in einen Graphen H einbetten, wenn es eine injektive Abbildung der Knoten f: V(G) → V(H) gibt, sodass jede Kante {u,v} in G auf die Kante {f(u),f(v)} in H abgebildet wird; damit ist G als treue Teilstruktur in H vorhanden.

Fehlanwendung

Jede injektive Abbildung der zugrundeliegenden Mengen als Einbettung zu betrachten, obwohl Relationen oder Operationen nicht erhalten bleiben, oder Einbettung mit bloßer Mengeneinschließung zu verwechseln, die keine Teilstruktur bildet.

Konsequenz

Wenn eine Struktur in eine andere eingebettet ist, gelten alle durch Homomorphismen erhaltenen äquationalen oder relationalen Eigenschaften in der Bilderstruktur; Einbettungen erlauben den Transfer vieler struktureller Invarianten und Gegenbeispiele.

Umkehrung

Die Umkehr ist ein Quotient oder ein surjektiver Homomorphismus, der Struktur zusammenführt; im Gegensatz zu Einbettungen identifizieren Quotienten verschiedene Elemente und verlieren typischerweise Information statt sie getreu darzustellen.

Abgrenzung

Einbettung ist schwächer als Isomorphie (das Bild muss nicht das ganze Ziel sein) und stärker als beliebiger Homomorphismus (sie muss injektiv und strukturerhaltend sein); sie ist nicht notwendigerweise elementar, sofern sie nicht die Wahrheit aller prädikatenlogischen Formeln erhält.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen Einbettung, Teilstruktur und elementarer Einbettung: Einbettungen verlangen Injektivität und Strukturerhalt, bewahren jedoch nicht zwingend alle logischen Formeln so wie elementare Einbettungen; Teilstrukturen können einfache Inklusionen ohne Abbildungsdaten sein.

Synthese

Die Einbettungsrelation formalisiert, wann eine Struktur mittels einer injektiven, strukturerhaltenden Abbildung treu in eine andere eingefügt werden kann; sie liegt zwischen einfachem Homomorphismus und Isomorphie und ist das Standardkonzept, um eine erhaltene Kopie einer Struktur zu erkennen.