Una relación entre dos estructuras algebraicas o relacionales que indica que la primera puede representarse dentro de la segunda mediante un homomorfismo inyectivo que preserva las operaciones y relaciones relevantes.

Principio

Un embedding se caracteriza por una aplicación inyectiva que preserva la estructura: debe ser uno a uno, conmutar con las funciones y preservar relaciones y constantes para que las verdades estructurales del dominio sigan siendo válidas en la imagen.

Demostración

Ejemplo: un grafo G se inserta en un grafo H si existe una función inyectiva de vértices f: V(G) → V(H) tal que toda arista {u,v} en G se envía a la arista {f(u),f(v)} en H; así G aparece como una subconfiguración fiel de H.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier aplicación inyectiva de los conjuntos subyacentes como un embedding aunque no preserve relaciones o funciones, o confundir inserción con mera inclusión de un subconjunto que no es una subestructura.

Consecuencia

Cuando una estructura se inserta en otra, cualquier propiedad ecuacional o relacional preservada por homomorfismos y verdadera en la estructura pequeña también se cumple en su imagen; los embebimientos permiten transferir invariantes estructurales y contraejemplos.

Inversión

La noción inversa es un cociente o homomorfismo suprayectivo que colapsa la estructura; a diferencia de los embebimientos, los cocientes identifican elementos distintos y por lo general pierden información en lugar de representarla fielmente.

Límite

La inserción es más débil que la isomorfía (la imagen no tiene que ser todo el codominio) y más fuerte que un homomorfismo arbitrario (debe ser inyectiva y preservar toda la estructura); no es necesariamente elemental salvo que preserve la verdad de todas las fórmulas de primer orden.

Tensión semántica

La tensión semántica aparece entre inserción, subestructura y embedding elemental: la inserción exige inyectividad y preservación estructural pero no necesariamente conserva todas las fórmulas lógicas como lo haría una inserción elemental; las subestructuras pueden ser inclusiones simples sin datos de aplicación.

Síntesis

La relación de inserción estructural formaliza cuándo una estructura puede colocarse fielmente dentro de otra mediante una aplicación inyectiva que preserva la estructura; se sitúa entre el homomorfismo y la isomorfía y es la noción estándar para reconocer una copia preservada de una estructura dentro de otra.