Une relation qui précise comment les propriétés sémantiques et modèle-théoriques des structures mathématiques correspondent aux caractéristiques syntaxiques ou axiomatiques des théories formelles qui les décrivent.

Principe

Les conditions syntaxiques d'une théorie (axiomes, règles d'inférence) déterminent des classes de modèles ; inversement, des propriétés invariantes des classes de modèles se traduisent en contraintes syntaxiques sur les théories qui les définissent.

Démonstration

Théorème de complétude : la démontrabilité syntaxique dans une théorie du premier ordre correspond à la vérité dans tous ses modèles ; théorème de Łoś : la vérité d'une formule du premier ordre dans un ultraproduit correspond à la vérité dans presque toutes les structures facteurs, reliant une construction de modèles à la préservation des formules.

Mauvaise application

Supposer que tout phénomène sémantique admet une caractérisation syntaxique finie (par exemple traiter des classes non élémentaires comme si elles étaient axiomatisables en premier ordre) ou conclure que l'équivalence élémentaire implique une axiomatisation identique.

Conséquence

Permet la traduction de problèmes entre syntaxe et sémantique : on peut démontrer des résultats de classification sémantique par des manipulations syntaxiques et inversement, conduisant à des classifications de modèles, des résultats de décidabilité et des principes de transfert.

Inversion

Voir la relation seulement du syntaxe vers la sémantique (les axiomes engendrent des modèles) sans reconnaître que des invariants modèle-théoriques peuvent imposer ou interdire certaines formes syntaxiques.

Limite

S'applique principalement aux cadres élémentaires (premier ordre) et aux logiques dotées d'une relation de satisfaction bien comportée ; elle s'affaiblit ou échoue pour les logiques d'ordre supérieur, les logiques infinitaires ou les classes non élémentaires où les descriptions syntaxiques peuvent être indisponibles ou non uniques.

Tension sémantique

Tension entre la « correspondance » comprise comme une équivalence fidèle (bi-traduction exacte) et une image plus faible et directionnelle (préservation ou réflexion unilatérale) où certaines propriétés ne sont que partiellement captées.

Synthèse

La Correspondance Modèle-Théorique est la mise en relation réglée entre ce que les théories affirment syntaxiquement et les propriétés invariantes de leurs modèles, utilisée pour transférer des résultats et caractériser des théories par leurs modèles en respectant les limites de la logique choisie.