Eine Beziehung, die angibt, wie semantische, modelltheoretische Eigenschaften von mathematischen Strukturen mit syntaktischen oder axiomatischen Merkmalen der formalen Theorien, die diese Strukturen beschreiben, zusammenhängen.

Prinzip

Syntaktische Bedingungen einer Theorie (Axiome, Schlussregeln) bestimmen Klassen von Modellen; umgekehrt spiegeln invariante Eigenschaften von Modellklassen syntaktische Beschränkungen der sie beschreibenden Theorien wider.

Demonstration

Vollständigkeitssatz: syntaktische Beweisbarkeit in einer prädikatenlogischen Theorie entspricht der Wahrheit in all ihren Modellen; Łośs Satz: die Wahrheit prädikatenlogischer Formeln im Ultraprodukt entspricht ihrer Wahrheit in fast allen Faktorstrukturen und verbindet damit eine Modellkonstruktion mit Formelerhaltung.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jedes semantische Phänomen habe eine saubere endliche syntaktische Charakterisierung (z. B. nicht-elementare Klassen als erstordnungsaxiomatisierbar behandeln) oder aus elementarer Äquivalenz identische Axiomatisierungen abzuleiten.

Konsequenz

Erlaubt den Transfer von Problemen zwischen Syntax und Semantik: man kann semantische Klassifikationsresultate durch syntaktische Methoden erhalten und umgekehrt, was zu Modellklassifikationen, Entscheidbarkeitsresultaten und Transferprinzipien führt.

Umkehrung

Die Relation nur vom Syntax- zum Semantikblick (Axiome erzeugen Modelle) zu betrachten, ohne anzuerkennen, dass modelltheoretische Invarianten bestimmte syntaktische Formen erzwingen oder ausschließen können.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für elementare (erstordnungs) Rahmen und für Logiken mit wohldefiniertem Erfüllbarkeitsbegriff; sie schwächt sich ab oder bricht zusammen für höhere Ordnungen, infinitäre Logiken oder nicht-elementare Klassen, wo syntaktische Beschreibungen fehlen oder mehrdeutig sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen 'Korrespondenz' im Sinne einer treuen Äquivalenz (exakte Bi-Übersetzung) und einer schwächeren einseitigen Abbildung (Erhaltung oder Reflexion), bei der manche Eigenschaften nur teilweise erfasst werden.

Synthese

Die Modelltheoretische Korrespondenz ist die organisierte Zuordnung zwischen syntaktischen Aussagen einer Theorie und den invarianten Eigenschaften ihrer Modelle, mit der Zielsetzung, Ergebnisse zu übertragen und Theorien durch ihre Modelle zu charakterisieren, unter Beachtung der logischen Grenzen.