Un mode de défaillance lors de l’extension d’une théorie où l’ajout de symboles, d’axiomes ou de principes nouveaux entraîne des démonstrations de phrases dans le langage de la théorie originelle qui n’étaient pas démontrables auparavant, violant ainsi la conservativité attendue.

Principe

Une extension conservative ne doit pas prouver de nouvelles phrases exprimables dans le langage initial ; un écart de conservativité survient lorsque la puissance expressive accrue de l’extension ou ses conséquences indirectes permettent de déduire des phrases du langage de base auparavant indémontrables.

Démonstration

L’adjonction d’un prédicat nouveau avec des axiomes qui encodent implicitement des choix combinatoires peut conduire à de nouvelles conséquences arithmétiques non prouvables dans la théorie de base ; l’ajout d’un prédicat vérité ou d’un principe de réflexion peut de la même manière créer un écart de conservativité sur l’arithmétique sous-jacente.

Mauvaise application

Supposer que des ajouts d’apparence définitionnelle ou syntaxique sont automatiquement conservatifs sans vérifier l’existence d’implications cachées ou de codages implicites affectant les phrases du langage de base.

Conséquence

La détection d’un écart de conservativité oblige à réévaluer l’extension : on peut restreindre les axiomes, fournir une réduction définitionnelle explicite, ou accepter que l’extension augmente les conséquences de la théorie de base et adapter les interprétations ou applications en conséquence.

Inversion

Extension conservative : ajout de symboles et d’axiomes qui préservent exactement les théorèmes dans le langage originel et n’engendrent aucune nouvelle conséquence dans le langage de base.

Limite

Concerne les relations entre théories et langages ; exclut les changements qui modifient le langage lui‑même (qui changent trivialement la puissance expressive) sauf si l’on retrace les conséquences dans le vocabulaire original. Applicable aux notions syntaxiques et sémantiques de conséquence.

Tension sémantique

La tension réside entre enrichir une théorie pour gagner en expressivité ou en explicabilité et préserver les conclusions antérieures ; l’écart met au jour le compromis entre conservativité et expressivité accrue ou commodité.

Synthèse

L’écart de conservativité diagnostique quand une extension passe d’un enrichissement inoffensif à une augmentation substantielle du contenu en langage de base : il impose une analyse précise du statut définitionnel, des codages implicites et des relations d’interprétabilité entre théories.