Un modo de fallo en la extensión de una teoría en que la adición de nuevos símbolos, axiomas o principios produce teoremas nuevos en el lenguaje de la teoría original que no eran derivables antes, violando así la conservatividad esperada.

Principio

Una extensión conservativa no debe probar ninguna oración nueva expresable en el lenguaje original; se produce una brecha de conservatividad cuando el poder expresivo adicional o las consecuencias indirectas de la extensión permiten derivar oraciones de la lengua base previamente indemostrables.

Demostración

Adjuntrar un predicado nuevo con axiomas que codifiquen implícitamente elecciones combinatorias puede llevar a nuevas consecuencias aritméticas no demostrables en la teoría base; añadir un predicado de verdad o un principio de reflexión puede producir de modo similar una brecha de conservatividad sobre la aritmética subyacente.

Aplicación incorrecta

Asumir que añadidos de apariencia definicional o sintáctica son automáticamente conservativos sin comprobar implicaciones ocultas o codificaciones implícitas que afectan oraciones del lenguaje base.

Consecuencia

Detectar una brecha de conservatividad obliga a reevaluar la extensión: puede restringirse axiomas, proporcionar una reducción definicional explícita o aceptar que la extensión aumenta las consecuencias de la teoría base y ajustar interpretaciones o aplicaciones en consecuencia.

Inversión

Extensión conservativa: la adición de símbolos y axiomas que preserva exactamente los teoremas en el lenguaje original y no produce nuevas consecuencias en la lengua base.

Límite

Afecta a las relaciones entre teorías y lenguajes; excluye cambios que alteren el lenguaje mismo (que trivialmente cambian la expresividad) salvo que se rastreen consecuencias de nuevo al vocabulario original. Aplicable a nociones sintácticas y semánticas de consecuencia.

Tensión semántica

La tensión está entre enriquecer una teoría para ganar expresividad o capacidad explicativa y preservar conclusiones anteriores; la brecha expone el balance entre conservatividad y mayor expresividad o conveniencia.

Síntesis

La brecha de conservatividad diagnostica cuándo una extensión cruza de un enriquecimiento inocuo a un aumento sustantivo del contenido en el lenguaje base: impone un análisis preciso del estatus definicional, las codificaciones implícitas y las relaciones de interpretabilidad entre teorías.