Ein Fehlerfall bei Theorieerweiterung, bei dem das Hinzufügen neuer Symbole, Axiome oder Prinzipien zu neuen Theoremen in der Sprache der ursprünglichen Theorie führt, die zuvor nicht ableitbar waren, und somit die erwartete Konservativität verletzt.

Prinzip

Eine konservative Erweiterung darf keine neuen Sätze beweisen, die in der ursprünglichen Sprache ausdrückbar sind; eine Konservativitätslücke tritt auf, wenn die zusätzliche Ausdrucksmacht oder indirekten Konsequenzen der Erweiterung Ableitungen von zuvor unbewiesenen Basissprachen-Sätzen ermöglichen.

Demonstration

Das Hinzufügen eines neuen Prädikats mit Axiomen, die kombinatorische Entscheidungen implizit kodieren, kann zu neuen arithmetischen Konsequenzen führen, die in der Basistheorie nicht beweisbar sind; auch das Einführen eines Wahrheitsprädikats oder eines Reflexionsprinzips kann eine Konservativitätslücke über der zugrundeliegenden Arithmetik erzeugen.

Fehlanwendung

Zu glauben, definitional oder syntaktisch aussehende Ergänzungen seien automatisch konservativ, ohne versteckte Folgerungen oder implizite Kodierungen zu prüfen, die Basissprachen-Sätze betreffen.

Konsequenz

Das Erkennen einer Konservativitätslücke erzwingt eine Neubewertung der Erweiterung: man kann Axiome einschränken, eine explizite definitionsartige Reduktion anbieten oder akzeptieren, dass die Erweiterung die Konsequenzen der Basistheorie vergrößert und entsprechende Interpretationen oder Anwendungen anpassen.

Umkehrung

Konservative Erweiterung: Hinzufügung von Symbolen und Axiomen, die genau die Theoreme in der ursprünglichen Sprache bewahren und keine neuen Basissprachen-Folgerungen erzeugen.

Abgrenzung

Betrifft die Beziehungen zwischen Theorien und Sprachen; schließt Änderungen aus, die die Sprache selbst verändern (die trivialerweise die Ausdruckskraft ändern), sofern man nicht die Konsequenzen in die ursprüngliche Vokabular zurückführt. Gilt sowohl für syntaktische als auch semantische Konsequenzbegriffe.

Semantische Spannung

Die Spannung liegt im Gegensatz zwischen dem Vergrößern der Ausdruckskraft einer Theorie und dem Bewahren früherer Folgerungen; die Lücke zeigt den Zielkonflikt zwischen Konservativität und erhöhter Expressivität oder Bequemlichkeit auf.

Synthese

Eine Konservativitätslücke diagnostiziert, wenn eine Erweiterung vom harmlosen Anreichern zur substanziellen Erweiterung des Inhalts in der Basissprache übergeht: sie verlangt eine präzise Analyse des definitionshaften Status, impliziter Kodierungen und der Interpretierbarkeitsbeziehungen zwischen Theorien.