Pour une structure M dans un langage L, le diagramme élémentaire est l'ensemble de toutes les phrases du premier ordre en L(M) (où L(M) est L élargi par une constante pour chaque élément de M) qui sont vraies dans la structure élargie ; il enregistre tous les faits du premier ordre portant sur les éléments nommés de M.

Principe

Nommer les éléments transforme des vérités sur les éléments en assertions propositionnelles : en adjoignant une constante pour chaque élément et en incluant toutes les phrases vraies dans cette expansion, le diagramme élémentaire encode la théorie du premier ordre complète de la structure particulière nommée et non seulement sa théorie à isomorphisme près.

Démonstration

Considérons la structure (N,+) et étendons le langage par des constantes c_n pour chaque entier n. Le diagramme élémentaire contient des phrases telles que c_2 + c_3 = c_5, des affirmations de certaines égalités, inégalités et toute propriété du premier ordre impliquant ces constantes qui tient dans (N,+).

Mauvaise application

Confondre le diagramme élémentaire avec le diagramme atomique (qui contient seulement les formules atomiques et leurs négations) ou supposer que le diagramme élémentaire est un objet indépendant du langage choisi et de la manière de nommer les éléments.

Conséquence

Connaître le diagramme élémentaire de M détermine, à isomorphisme respectant les noms de constantes près, toutes les conséquences du premier ordre concernant les éléments spécifiques ; il permet de construire des plongements et de formuler des arguments de va-et-vient de façon concrète, et de réduire des questions sur M à la satisfiabilité de phrases dans le langage élargi.

Inversion

Retirer les constantes ajoutées redonne la théorie ordinaire de M (l'ensemble des phrases vraies dans M sans noms), qui perd l'identification des éléments individuels ; inversement, deux structures non isomorphes peuvent avoir la même théorie mais des diagrammes élémentaires différents dès que les éléments sont nommés.

Limite

Le diagramme élémentaire se définit uniquement dans la syntaxe du premier ordre (ou d'une logique choisie) et dépend de l'expansion par constantes ; il ne capture pas à lui seul des propriétés d'ordre supérieur, des énoncés sensibles à la cardinalité hors du premier ordre, ni des informations sur des ensembles indéfinissables non exprimables avec la syntaxe disponible.

Tension sémantique

Il existe une tension entre « diagramme élémentaire » et « diagramme atomique » (le premier contient toutes les phrases du premier ordre avec constantes, le second seulement les vérités atomiques), et entre diagrammes et théories complètes : les diagrammes fixent des noms d'éléments, les théories les oublient.

Synthèse

Le diagramme élémentaire est la collection complète des phrases du premier ordre, dans le langage enrichi par des constantes nommant chaque élément d'une structure, qui sont vraies dans cette expansion ; il encode concrètement l'information élémentaire au niveau du premier ordre de la structure et sert d'outil pour construire des plongements et transférer des faits spécifiques aux éléments.