Für eine Struktur M in einer Sprache L ist das elementare Diagramm die Menge aller erstenordentlichen L(M)-Sätze (wobei L(M) durch eine Konstante für jedes Element von M erweitert wird), die in der erweiterten Struktur wahr sind; es dokumentiert jede erstordentliche Tatsache über die benannten Elemente von M.

Prinzip

Durch das Benennen von Elementen werden Element-Wahrheiten zu Satzaussagen: Indem man für jedes Element eine Konstante hinzufügt und alle in dieser Expansion wahren Sätze einschließt, kodiert das elementare Diagramm die vollständige erstordentliche Theorie der konkreten benannten Struktur statt nur ihrer Theorie bis auf Isomorphie.

Demonstration

Betrachte die Struktur (N,+) und erweitere die Sprache um Konstanten c_n für jede natürliche Zahl n. Das elementare Diagramm enthält Sätze wie c_2 + c_3 = c_5, Aussagen über bestimmte Gleichheiten, Ungleichheiten und jede erstordentliche Eigenschaft mit diesen Konstanten, die in (N,+) gilt.

Fehlanwendung

Das elementare Diagramm mit dem atomaren Diagramm verwechseln (letzteres enthält nur atomare und negierte atomare Formeln) oder annehmen, das elementare Diagramm sei ein sprachunabhängiges Objekt anstatt abhängig von der gewählten Benennung der Elemente.

Konsequenz

Die Kenntnis des elementaren Diagramms von M bestimmt, bis auf Isomorphie die Konstantsymbole respektierend, alle erstordentlichen Konsequenzen über die konkreten Elemente; sie erlaubt das Konstruieren von Einbettungen, konkrete Rück-und-Vor-Argumente und die Reduktion von Fragen über M auf Erfüllbarkeitsprobleme in der erweiterten Sprache.

Umkehrung

Entfernt man die hinzugefügten Konstanten, erhält man die gewöhnliche Theorie von M (die Menge der in M wahren Sätze ohne Namen), die die Identifikation einzelner Elemente verliert; zwei nicht-isomorphe Strukturen können dieselbe Theorie, aber unterschiedliche elementare Diagramme besitzen, sobald Elemente benannt werden.

Abgrenzung

Das elementare Diagramm ist nur innerhalb erstordentlicher Syntax (oder einer gewählten Logik) definiert und hängt von der durch Konstanten vorgenommenen Expansion ab; es erfasst nicht von selbst höherordentliche Eigenschaften, kardsensitiven Aussagen außerhalb der ersten Ordnung oder Informationen über undefinierbare Mengen, die mit der gegebenen Syntax nicht ausdrückbar sind.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen 'elementarem Diagramm' und 'atomarem Diagramm' (erstes enthält alle erstordentlichen Sätze mit Konstanten, letztes nur atomare Wahrheiten) sowie zwischen Diagrammen und vollständigen Theorien: Diagramme fixieren Elementnamen, Theorien lassen sie fallen.

Synthese

Das elementare Diagramm ist die vollständige Sammlung der erstordentlichen Sätze in der Sprache, die durch Konstanten für alle Elemente einer Struktur erweitert wurde und in dieser Expansion wahr ist; es kodiert konkret die elementbezogenen erstordentlichen Informationen der Struktur und dient als Werkzeug zum Aufbau von Einbettungen und zur Übertragung elementspezifischer Fakten.