Para una estructura M en un lenguaje L, el diagrama elemental es el conjunto de todas las oraciones de primer orden en L(M) (donde L(M) es L ampliado con una constante para cada elemento de M) que son verdaderas en la expansión; registra cada hecho de primer orden sobre los elementos nombrados de M.

Principio

Nombrar elementos convierte verdades sobre elementos en aseveraciones a nivel de oraciones: al adjuntar una constante por cada elemento e incluir todas las oraciones verdaderas en esa expansión, el diagrama elemental codifica la teoría de primer orden completa de la estructura particular nombrada y no sólo su teoría hasta isomorfismo.

Demostración

Tomemos la estructura (N,+) y ampliemos el lenguaje con constantes c_n para cada número natural n. El diagrama elemental contiene oraciones como c_2 + c_3 = c_5, declaraciones que afirman igualdades particulares, desigualdades y cualquier propiedad de primer orden que involucre estas constantes y sea cierta en (N,+).

Aplicación incorrecta

Igualar el diagrama elemental con el diagrama atómico (que contiene sólo fórmulas atómicas y sus negaciones) o suponer que el diagrama elemental es un objeto independiente del lenguaje elegido y de la forma de nombrar elementos.

Consecuencia

Conocer el diagrama elemental de M determina, hasta isomorfismo que respete los nombres de constantes, todas las consecuencias de primer orden sobre los elementos concretos; permite construir incrustaciones y formular argumentos de ida y vuelta de forma concreta, y reducir preguntas sobre M a la satisfacibilidad de oraciones en el lenguaje ampliado.

Inversión

Eliminar las constantes añadidas devuelve la teoría ordinaria de M (el conjunto de oraciones verdaderas en M sin nombres), que pierde la identificación de elementos individuales; a su vez, dos estructuras no isomorfas pueden tener la misma teoría pero diagramas elementales distintos cuando se nombran elementos.

Límite

El diagrama elemental se define sólo dentro de la sintaxis de primer orden (o de una lógica elegida) y depende de la expansión por constantes; no captura por sí mismo propiedades de orden superior, enunciados sensibles a la cardinalidad fuera del primer orden ni información sobre conjuntos indefinibles no expresables con la sintaxis disponible.

Tensión semántica

Existe tensión entre 'diagrama elemental' y 'diagrama atómico' (el primero incluye todas las oraciones de primer orden con constantes, el segundo sólo verdades atómicas) y entre diagramas y teorías completas: los diagramas fijan nombres de elementos, las teorías los olvidan.

Síntesis

El diagrama elemental es la colección completa de oraciones de primer orden en el lenguaje ampliado con constantes que nombran cada elemento de una estructura y que son verdaderas en esa expansión; codifica de forma concreta la información de primer orden a nivel de elementos de la estructura y sirve como herramienta para construir incrustaciones y transferir hechos específicos de elementos.