Un modèle minimal d'une théorie complète du premier ordre qui s'immerge élémentairement dans tout autre modèle de la théorie ; de façon équivalente, un modèle engendré par la réalisation des types principaux (isolés) sur l'ensemble vide.

Principe

La primarité est la propriété d'être minimal pour les immersions élémentaires : un modèle premier contient juste ce qu'il faut d'éléments pour réaliser les types isolés de la théorie et s'insère élémentairement dans tout autre modèle de la même théorie.

Démonstration

Pour la théorie des ordres linéaires denses sans extrémités, l'ordre dense dénombrable sans extrémités est premier car il s'immerge élémentairement dans tout modèle dénombrable de la même théorie en envoyant les rationnels sur les coupures correspondantes ; dans de nombreuses théories complètes dénombrables il existe un modèle premier dénombrable unique à l'isomorphisme près.

Mauvaise application

Supposer qu'un modèle premier existe pour toute théorie ou identifier un modèle simplement petit comme premier sans vérifier l'élémentarité peut conduire à des conclusions modèle-théoriques erronées.

Conséquence

Lorsque les modèles premiers existent, ils fournissent des représentants minimaux canoniques d'une théorie, servent de base pour des chaînes élémentaires et simplifient la classification en réduisant des problèmes aux immersions depuis le modèle premier.

Inversion

Un modèle saturé est, en un sens, le dual : au lieu d'être minimal et s'immerger dans les autres, il est suffisamment grand pour réaliser de nombreux types et admet des immersions depuis des modèles plus petits.

Limite

Défini pour des théories complètes du premier ordre ; toute théorie n'a pas de modèle premier (l'existence dépend de la dénombrabilité, de l'isolation des types ou des conditions d'omission de types) et la notion exclut les immersions non élémentaires ou la simple minimalité de sous-structure.

Tension sémantique

Tension entre minimalité et représentativité : un modèle premier est minimal tout en devant refléter les types isolés de la théorie ; parfois un modèle apparemment petit n'est pas premier car il omet un type isolé requis.

Synthèse

Un Modèle Premier est la structure minimalement suffisante, immergeable élémentairement, d'une théorie complète du premier ordre : il réalise les types isolés de la théorie et sert de représentant canonique minimal à partir duquel les autres modèles reçoivent des immersions élémentaires.