Ein minimales Modell einer vollständigen Prädikatenlogik-Theorie, das sich elementar in jedes andere Modell der Theorie einbettet; äquivalent dazu ein Modell, das von Realisierungen principaler (isolierter) Typen über der leeren Menge erzeugt wird.

Prinzip

Primheit ist die Eigenschaft, minimal bezüglich elementarer Einbettungen zu sein: Ein Primmodell enthält gerade so viele Elemente, wie nötig sind, um die isolierten Typen der Theorie zu realisieren, und lässt sich elementar in jedes andere Modell der gleichen Theorie einbetten.

Demonstration

Für die Theorie dichter linearer Ordnungen ohne Endpunkte ist die abzählbare dichte Ordnung ohne Endpunkte prim, weil sie sich elementar in jedes abzählbare Modell derselben Theorie einbettet, indem rationale Zahlen auf entsprechende Schnitte abgebildet werden; in vielen vollständigen abzählbaren Theorien existiert bis auf Isomorphie ein eindeutiges abzählbares Primmodell.

Fehlanwendung

Daran zu glauben, dass zu jeder Theorie ein Primmodell existiert, oder ein lediglich kleines Modell ohne Prüfung der Elementarität als prim zu identifizieren, kann zu falschen modelltheoretischen Schlüssen führen.

Konsequenz

Existieren Primmodelle, liefern sie kanonische minimale Repräsentanten einer Theorie, dienen als Basen für elementare Ketten und vereinfachen die Klassifikation, indem Probleme auf Einbettungen vom Primmodell reduziert werden.

Umkehrung

Ein saturiertes Modell ist gewissermaßen das Dual: statt minimal zu sein und sich in andere einzubetten, ist es groß genug, viele Typen zu realisieren und erlaubt Einbettungen von kleineren Modellen in sich.

Abgrenzung

Definiert für vollständige erste-Ordnung-Theorien; nicht jede Theorie besitzt ein Primmodell (Existenz hängt von Abzählbarkeit, Isolation von Typen oder Auslassungsbedingungen ab) und die Notion schließt nicht-elementare Einbettungen oder bloße Unterstruktur-Minimalität aus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Minimalität und Repräsentativität: Ein Primmodell ist minimal und muss zugleich die isolierten Typen der Theorie widerspiegeln; manchmal versagt ein scheinbar kleines Modell als prim, weil es einen erforderlichen isolierten Typ auslässt.

Synthese

Ein Primmodell ist das minimal hinreichende, elementar einbettbare Modell einer vollständigen ersten-Ordnung-Theorie: Es realisiert die isolierten Typen der Theorie und dient als kanonische minimale Struktur, von der aus andere Modelle elementar eingebettet werden.