Un symbole dans un langage formel qui représente un élément non spécifié du domaine et qui peut apparaître en position libre ou liée dans des formules.

Principe

La variable joue le rôle de place réservée pouvant être instanciée par des éléments du domaine ou liée par des quantificateurs ; son identité et sa portée déterminent le comportement de substitution et d'étendue.

Démonstration

En logique du premier ordre, x dans la formule ∀x (P(x) → Q(x)) est une variable liée car le quantificateur ∀x lie toutes ses occurrences ; dans P(x) ∧ R(y), x et y sont libres en l'absence de quantificateur.

Mauvaise application

Considérer une occurrence liée comme libre lors d'une substitution, par exemple remplacer x dans ∀x P(x), ce qui modifierait le sens de la formule et pourrait provoquer une capture de variable.

Conséquence

La gestion correcte des variables préserve la forme logique lors des substitutions et quantifications, permettant des inférences valides, le renommage (α-conversion) et une interprétation modèle-théorique cohérente.

Inversion

Si les variables étaient des noms fixes plutôt que des places réservées, elles se comporteraient comme des symboles constants et ne pourraient plus être quantifiées ; cette inversion empêche d'exprimer la généralité par des quantificateurs.

Limite

Exclut les métavariables non symboliques utilisées dans des schémas informels et distingue les variables du langage-objet des paramètres du métalanguage ; ne couvre pas les opérateurs liant des variables (quantificateurs, λ).

Tension sémantique

Tension entre « variable comme place réservée » et « variable comme inconnue à résoudre » — en syntaxe formelle le rôle dépend du contexte de liaison, tandis qu'en mathématiques appliquées elle désigne souvent une valeur à trouver.

Synthèse

Une variable est un symbole syntaxique dont le rôle — libre ou lié — et la gestion correcte lors des substitutions et des quantifications permettent aux langages formels de représenter des éléments non spécifiés du domaine et des énoncés généraux.