Un théorème affirmant que, pour un processus stochastique stationnaire au sens large, la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation, de sorte que les statistiques du second ordre temporelles et spectrales forment une paire de Fourier.

Principe

La stationnarité des moments d'ordre deux fait dépendre l'autocorrélation uniquement du décalage ; la linéarité et les propriétés de la transformée de Fourier transforment la structure de décalage en structure spectrale, établissant ainsi la relation transformée entre autocorrélation et densité spectrale.

Démonstration

Pour un processus gaussien réel à moyenne nulle X(t) stationnaire au sens large, avec autocorrélation R_X(τ), on calcule S_X(ω)=∫_{-∞}^{∞}R_X(τ)e^{-iωτ}dτ ; pour le bruit blanc R_X(τ)=(N0/2)·δ(τ) cela donne une S_X(ω) constante en ω, illustrant la relation de transformée.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à un processus non stationnaire, ou considérer des autocorrélations d'échantillon issues d'un seul enregistrement fini comme des autocorrélations d'ensemble exactes sans correction de biais, conduit à des conclusions spectrales erronées.

Conséquence

Permet l'estimation spectrale à partir d'estimées d'autocorrélation et inversement, et sert de base aux méthodes de filtrage et d'identification de systèmes qui basculent entre covariance temporelle et puissance fréquentielle.

Inversion

La relation est inversible : l'autocorrélation s'obtient par transformée de Fourier inverse de la densité spectrale, de sorte qu'un spectre connu permet de reconstruire les corrélations temporelles du second ordre.

Limite

Nécessite la stationnarité au sens large et que R_X soit intégrable (ou interprétée au sens des distributions pour des processus généralisés) ; les versions temps discret exigent des conditions de sommabilité analogues et de la prudence vis‑à‑vis du repliement spectral.

Tension sémantique

Se trouve en tension avec les représentations spectrales dépendantes du temps (STFT, Wigner–Ville) qui abandonnent la stationnarité ; celles‑ci captent les distributions d'énergie non stationnaires mais perdent la dualité simple autocorrélation–DSP.

Synthèse

Le théorème formalise que, sous stationnarité du second ordre, l'autocorrélation temporelle et la densité spectrale sont deux représentations d'une même information reliées par la transformée de Fourier, interchangeables pour l'analyse et la conception.