Ein Satz, der besagt, dass bei einem stationären Prozess im weiten Sinn die Leistungsdichtespektrums (PSD) die Fourier-Transformation seiner Autokorrelationsfunktion ist, sodass zeitliche und spektrale Zweitordnungsstatistiken Fourier-Paare bilden.

Prinzip

Die Stationarität der zweitordentlichen Momente bewirkt, dass die Autokorrelation nur vom Versatz abhängt; die Linearität der Fourier-Transformation wandelt Versatzstruktur in spektrale Struktur um und liefert so die Transformationsbeziehung zwischen Autokorrelation und Spektraldichte.

Demonstration

Für einen reellen, mittelwertfreien, im weiten Sinn stationären Gaußprozess X(t) mit Autokorrelation R_X(τ) berechnet man S_X(ω)=∫_{-∞}^{∞}R_X(τ)e^{-iωτ}dτ; für weißen Rauschen mit R_X(τ)=(N0/2)·δ(τ) ergibt sich ein konstantes S_X(ω), was die Transformationsbeziehung veranschaulicht.

Fehlanwendung

Die Anwendung des Satzes auf nichtstationäre Prozesse oder das ungeprüfte Verwenden von Stichprobenautokorrelationen aus einer einzigen endlichen Realisierung als exakte Ensembleautokorrelationen führt zu fehlerhaften spektralen Aussagen.

Konsequenz

Ermöglicht die Spektralschätzung aus Autokorrelationsschätzungen und umgekehrt und bildet die Grundlage für Filterentwurf und Systemidentifikation, die zwischen Zeitdomänenkovarianz und Frequenzdomänenleistung wechseln.

Umkehrung

Die Beziehung ist umkehrbar: Die Autokorrelation ist die inverse Fourier-Transformation der Leistungsdichtespektrums, sodass aus dem Spektrum die zweitordentlichen Zeitkorrelationen rekonstruiert werden können.

Abgrenzung

Setzt stationarität im weiten Sinn voraus und dass R_X integrierbar ist (oder distributionsweise interpretiert werden kann bei verallgemeinerten Prozessen); für zeitdiskrete Fälle gelten analoge Summierbarkeitsbedingungen und Vorsicht gegenüber Aliasing.

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb zu zeitabhängigen Spektraldarstellungen (STFT, Wigner–Ville), die Stationarität aufgeben; diese erfassen nichtstationäre Energieverteilungen, verlieren aber die einfache Autokorrelations–PSD-Dualität.

Synthese

Der Satz bringt auf den Punkt, dass unter zweitordentlicher Stationarität Autokorrelation und Spektraldichte zwei Seiten derselben Information sind, verbunden durch die Fourier-Transformation und austauschbar für Analyse und Konstruktion.