Un teorema que afirma que, para un proceso estocástico estacionario en sentido amplio, la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de su función de autocorrelación, de modo que las estadísticas de segundo orden en tiempo y frecuencia son parejas de Fourier.

Principio

La estacionariedad de los momentos de segundo orden hace que la autocorrelación dependa solo del desfase; la linealidad de la transformada de Fourier convierte la estructura de desfase en estructura espectral, estableciendo la relación transformada entre autocorrelación y densidad espectral.

Demostración

Para un proceso gaussiano real, de media cero y estacionario en sentido amplio X(t) con autocorrelación R_X(τ), se calcula S_X(ω)=∫_{-∞}^{∞}R_X(τ)e^{-iωτ}dτ; para ruido blanco con R_X(τ)=(N0/2)·δ(τ) se obtiene S_X(ω) constante en ω, ilustrando la relación.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a procesos no estacionarios, o tratar autocorrelaciones muestrales de un único registro finito como autocorrelaciones de conjunto sin corregir sesgos o consistencia, conduce a conclusiones espectrales equivocadas.

Consecuencia

Permite estimar espectros a partir de autocorrelaciones estimadas y viceversa; es fundamento para diseño de filtros e identificación de sistemas que alternan entre covarianza temporal y descripción de potencia en frecuencia.

Inversión

La relación es invertible: la autocorrelación es la transformada de Fourier inversa de la densidad espectral, de modo que un espectro conocido permite reconstruir las correlaciones temporales de segundo orden.

Límite

Requiere estacionariedad en sentido amplio y que R_X sea integrable (o interpretada en el sentido de distribuciones para procesos generalizados); las versiones en tiempo discreto exigen condiciones análogas de sumabilidad y cuidado con el aliasing.

Tensión semántica

Compite con representaciones espectrales dependientes del tiempo (STFT, Wigner–Ville) que abandonan la estacionariedad; esas representaciones capturan energía no estacionaria pero pierden la dualidad simple autocorrelación–PSD.

Síntesis

El teorema formaliza que, bajo estacionariedad de segundo orden, la autocorrelación temporal y la densidad espectral son dos representaciones de la misma información, relacionadas por la transformada de Fourier e intercambiables para análisis y diseño.