Un test de stabilité en domaine fréquentiel pour les systèmes à rétroaction en boucle fermée qui trace la fonction de transfert en boucle ouverte autour d'un contour encerclant le demi-plan droit et compte les encerclements nets du point critique −1 pour déterminer le nombre de pôles du système en boucle fermée dans le demi-plan droit, en tenant compte des pôles en boucle ouverte dans le demi-plan droit via le principe du changement d'argument.

Principe

Principe du changement d'argument : le nombre net d'encerclements horaires de −1 par le tracé de Nyquist de la boucle ouverte égale le nombre de pôles en RHP de la boucle ouverte moins le nombre de pôles en RHP de la boucle fermée ; compter les encerclements fournit donc l'information de stabilité en boucle fermée.

Démonstration

Pour une boucle de retour SISO avec L(s) = G(s)H(s), tracer L(iω) pour ω de −∞ à +∞ (avec détours appropriés pour les pôles sur l'axe) et compter les encerclements de −1 ; si les encerclements contrôlent que les pôles en RHP de la boucle fermée sont nuls, la boucle fermée est stable. Scénario illustratif : évaluer stabilité et marges gain/phase lors du réglage d'un contrôleur.

Mauvaise application

Négliger d'inclure les pôles en RHP de la boucle ouverte dans le comptage des encerclements, utiliser un contour ou une orientation incorrecte, ou omettre de déformer correctement le contour autour de points de branchement ou de singularités dues à des retards conduit à des conclusions erronées sur la stabilité.

Conséquence

Permet de déterminer la stabilité en boucle fermée et de calculer des marges de robustesse (marges de gain et de phase) à partir de données de réponse fréquentielle, et d'orienter la conception du contrôleur en donnant une vision directe de l'effet de la forme de la boucle sur le placement des pôles.

Inversion

On peut inverser le raisonnement pour concevoir des formes de boucle ouverte qui produisent des comptes d'encerclement souhaités, mais interpréter à tort les encerclements comme des localisations directes de pôles (au lieu de comptes relatifs aux pôles en RHP) renverse la logique et conduit à des erreurs.

Limite

S'applique principalement aux systèmes linéaires invariants dans le temps SISO et aux fonctions de transfert rationnelles, éventuellement étendues aux systèmes avec retard après traitement soigneux ; exige une compréhension des coupures de branche, des annulations pôle-zéro et des multiplicités et est moins directe pour les systèmes MIMO où des approches Nyquist généralisées sont nécessaires.

Tension sémantique

Étroitement lié aux méthodes Bode, lieu des racines et aux tests de pôle en domaine temporel : la méthode de Nyquist met l'accent sur le comptage global d'encerclements par la forme fréquentielle tandis que Bode fournit des mesures locales de marge et le lieu des racines montre les trajectoires des pôles en fonction d'un paramètre ; la tension est pratique : quelle méthode offre la meilleure information de conception pour un problème donné.

Synthèse

Le Critère de Stabilité de Nyquist traduit le comptage des pôles en boucle fermée en un problème d'encerclement en domaine fréquentiel via le principe du changement d'argument : en traçant la réponse en boucle ouverte autour du contour de Nyquist et en tenant correctement compte des pôles RHP en boucle ouverte et des déformations du contour, on déduit la stabilité et les marges de robustesse, en prêtant attention aux choix de contour et aux limites de la classe de systèmes.