Une application des variables d'état locales (scalaires ou vectorielles) au vecteur de flux figurant dans une loi de conservation ou une équation de transport ; la fonction de flux détermine la façon dont la quantité conservée est transportée spatialement.

Principe

Le flux encode le mécanisme de transport et sa dépendance à l'état ; pour les systèmes hyperboliques, le jacobien du flux contrôle les vitesses caractéristiques et la structure des ondes, de sorte que les propriétés de la fonction de flux déterminent la bien-posée et les interactions d'ondes.

Démonstration

Flux de Burgers inviscide f(u)=u^2/2 pour une conservation scalaire : ∂u/∂t + ∂f(u)/∂x = 0 ; les équations d'Euler utilisent des fonctions de flux mappant les variables conservées (densité, quantité de mouvement, énergie) en vecteurs de flux dont le jacobien donne les vitesses acoustiques et advectives ; l'advection linéaire a f(u)=cu.

Mauvaise application

Utiliser un flux incorrect qui ne reflète pas la physique sous-jacente (par ex. remplacer un flux non linéaire véritable par un flux linéaire) modifie les vitesses caractéristiques et peut supprimer ou créer des chocs et raréfactions de façon erronée ; négliger la dépendance d'état du flux dans des systèmes couplés entraîne un découplage artificiel.

Conséquence

La fonction de flux correcte produit les vitesses de signal appropriées, détermine la formation et l'interaction d'ondes et de chocs, et intervient directement dans le calcul des flux numériques pour les schémas conservatifs ; la convexité du flux influence les conditions d'entropie et l'unicité des solutions faibles.

Inversion

Étant donné des flux observés et l'évolution d'état, on peut chercher l'inverse : identifier la fonction de flux ou ses paramètres à partir des données plutôt que de la prescrire, problème mal posé sans régularisation ou hypothèses de modélisation.

Limite

S'applique au transport local décrit par des équations de conservation/transport ; exclut les représentations de flux non locales sauf si la fonction de flux est étendue pour inclure des termes intégraux, et exclut les termes de fermeture non exprimables comme fonctions des variables d'état choisies.

Tension sémantique

Tension entre les fonctions de flux locales utilisées dans les lois de conservation hyperboliques et les lois de flux constitutives dans le transport diffusif ou non local (par ex. diffusion de Fick versus advection non linéaire), et entre flux exact et flux numérique approché utilisé pour la discrétisation.

Synthèse

Une fonction de flux est l'application état→flux dont la structure contrôle les vitesses de transport, les types d'ondes et l'admissibilité des solutions dans les lois de conservation ; son exactitude en forme et en paramètres est essentielle pour une modélisation et une approximation numérique physiquement cohérentes.