Eine Abbildung von den lokalen Zustandsgrößen (Skalare oder Vektoren) auf den Flussvektor, der in einer Erhaltungsgleichung oder Transportgleichung auftritt; die Flussfunktion bestimmt, wie die konservierte Größe räumlich transportiert wird.

Prinzip

Der Fluss kodiert den Transportmechanismus und dessen Zustandsabhängigkeit; für hyperbolische Systeme steuert die Jacobi‑Matrix des Flusses die charakteristischen Geschwindigkeiten und die Wellenstruktur, sodass Flusseigenschaften Wohlgestelltheit und Wellenwechselwirkungen bestimmen.

Demonstration

Inviskider Burgers‑Fluss f(u)=u^2/2 für skalare Erhaltung: ∂u/∂t + ∂f(u)/∂x = 0; die Euler‑Gleichungen verwenden Flussfunktionen, die konservierte Variablen (Dichte, Impuls, Energie) auf Flussvektoren abbilden, deren Jacobi akustische und advektive Geschwindigkeiten liefern; lineare Advektion hat f(u)=cu.

Fehlanwendung

Einen falschen Fluss zu verwenden, der die zugrundeliegende Physik nicht widerspiegelt (z. B. linearen Fluss für tatsächlich nichtlinearen Transport einsetzen), verändert die charakteristischen Geschwindigkeiten und kann Schocks und Rarefaktionen fälschlich eliminieren oder erzeugen; das Ignorieren der Zustandsabhängigkeit des Flusses in gekoppelten Systemen führt zu künstlicher Entkopplung.

Konsequenz

Die korrekte Flussfunktion liefert die richtigen Signalgeschwindigkeiten, bestimmt Bildung und Wechselwirkung von Wellen und Schocks und geht direkt in numerische Flussberechnungen für konservative Schemata ein; die Konvexität des Flusses beeinflusst Entropiebedingungen und Eindeutigkeit schwacher Lösungen.

Umkehrung

Aus beobachteten Flüssen und Zustandsentwicklungen kann das inverse Problem formuliert werden: Identifikation der Flussfunktion oder ihrer Parameter aus Daten statt deren Vorwegnahme; dieses Problem ist ohne Regularisierung schlecht gestellt.

Abgrenzung

Gilt für lokalen Transport beschrieben durch Erhaltungs-/Transportgleichungen; schließt nichtlokale Flussdarstellungen aus, es sei denn, die Flussfunktion wird um Integralterme erweitert, und schließt Abschlussterms aus, die nicht als Funktion der gewählten Zustandsvariablen darstellbar sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen lokalen Flussfunktionen in hyperbolischen Erhaltungsgesetzen und konstitutiven Flussgesetzen im diffusen oder nichtlokalen Transport (z. B. Fick'sche Diffusion vs. nichtlineare Advektion) sowie zwischen exaktem Fluss und approximiertem numerischem Fluss für die Diskretisierung.

Synthese

Eine Flussfunktion ist die Abbildung Zustand→Fluss, deren Struktur Transportgeschwindigkeiten, Wellentypen und Zulässigkeit von Lösungen in Erhaltungsgesetzen kontrolliert; Genauigkeit in Form und Parametern ist entscheidend für physikalisch konsistentes Modellieren und numerische Approximation.