Une théorie T* est un compagnon de modèle d'une théorie T lorsque T* est modèle-complète, que T et T* ont les mêmes conséquences universelles, et que les modèles de T* sont exactement les modèles existentialement clos de T (équivalemment, tout modèle de T s'embedd dans un modèle de T*).

Principe

Un compagnon de modèle axiomatise les expansions existentialement closes de T : il préserve la théorie universelle tout en complétant les conséquences existentielles de sorte que les plongements reflètent les formules existentielles et que le compagnon soit modèle-complète.

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos d'une caractéristique fixée est le compagnon de modèle de la théorie des corps de cette caractéristique : les corps algébriquement clos sont exactement les corps existentialement clos, et le compagnon est modèle-complète.

Mauvaise application

Supposer que toute théorie consistante possède un compagnon de modèle ; en général l'existence d'un compagnon n'est pas garantie et peut échouer même pour des classes naturelles de structures.

Conséquence

Lorsqu'un compagnon de modèle existe, il fournit une théorie modèle-complète qui simplifie souvent la classification, les questions de décidabilité et le transfert de propriétés car la clôture existentielle remplace des conditions d'embedding ad hoc par des axiomes.

Inversion

La notion inverse est une théorie sans compagnon : de nombreuses théories admettent des modèles existentialement clos distincts qui ne peuvent pas être capturés par un unique compagnon modèle-complète, laissant un spectre divers de complétions.

Limite

Concerne des paires de théories (T, T*) où T* partage les conséquences universelles de T ; l'existence est délicate et dépend de contraintes syntaxiques et model-théoriques (p. ex. la consistance des axiomes EC), et la notion ne dit rien sur l'unicité au-delà de l'équivalence logique usuelle.

Tension sémantique

Tension avec la complétion de modèle : un compagnon de modèle n'est pas forcément une complétion de modèle (qui exige en outre que tout modèle de T s'embed dans un modèle du compagnon et réciproquement dans un sens plus fort d'élimination des quantificateurs) ; inversement, les complétions de modèle sont des compagnons particuliers.

Synthèse

Un compagnon de modèle est la théorie modèle-complète qui capture exactement les modèles existentialement clos d'une théorie sous-jacente ; lorsqu'il existe, il convertit la fermeture existentielle en axiomes, permettant une analyse sémantique et syntaxique plus nette des embeddings et des solutions.