Eine Theorie T* ist ein Modellbegleiter einer Theorie T, wenn T* modellvollständig ist, T und T* dieselben universellen Folgerungen haben und die Modelle von T* genau die existenziell abgeschlossenen Modelle von T sind (äquivalent: jedes Modell von T lässt sich in ein Modell von T* einbetten).

Prinzip

Ein Modellbegleiter axiomatziert die existenziell abgeschlossenen Erweiterungen von T: Er bewahrt die universelle Theorie und komplettiert zugleich die existenziellen Konsequenzen, so dass Einbettungen existenzielle Formeln widerspiegeln und der Begleiter modellvollständig wird.

Demonstration

Die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper einer festen Charakteristik ist der Modellbegleiter der Theorie von Körpern dieser Charakteristik: algebraisch abgeschlossene Körper sind genau die existenziell abgeschlossenen Körper, und der Begleiter ist modellvollständig.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede konsistente Theorie habe einen Modellbegleiter; allgemein muss ein Modellbegleiter nicht existieren, und die Existenz kann selbst für natürliche Klassen von Strukturen scheitern.

Konsequenz

Existiert ein Modellbegleiter, so ergibt sich eine modellvollständige Theorie, die Klassifikation, Entscheidbarkeitsfragen und den Transfer von Eigenschaften oft vereinfacht, weil existenzielle Abschlüsse durch Axiome ersetzt werden können.

Umkehrung

Das Gegenteil ist eine Theorie ohne Begleiter: Viele Theorien besitzen verschiedene existenziell abgeschlossene Modelle, die nicht durch einen einzigen modellvollständigen Begleiter erfasst werden können, sodass ein vielfältiges Spektrum an Komplettierungen bleibt.

Abgrenzung

Betrifft Paare von Theorien (T, T*), wobei T* die universellen Folgerungen von T teilt; die Existenz ist heikel und hängt von syntaktischen und modelltheoretischen Zwängen ab (z. B. Konsistenz der EC-Axiome), und die Definition macht keine weitergehenden Aussagen zur Eindeutigkeit über logische Äquivalenz hinaus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Modellbegleiter und Modellkompletion: Ein Modellbegleiter muss keine Modellkompletion sein (die zusätzlich verlangen kann, dass Modelle gegenseitig einbettbar sind und Quantorenelimination vorliegt); Modellkompletionen sind hingegen spezielle Modellbegleiter.

Synthese

Ein Modellbegleiter ist die modellvollständige Theorie, die genau die existenziell abgeschlossenen Modelle einer zugrundeliegenden Theorie erfasst; falls vorhanden, verwandelt sie existenzielle Abschlussbedingungen in Axiome und erlaubt so eine klarere semantische und syntaktische Analyse von Einbettungen und Lösungen.