Una teoría T* es compañero de modelo de una teoría T cuando T* es modelo-completa, T y T* tienen las mismas consecuencias universales, y los modelos de T* son exactamente los modelos existencialmente cerrados de T (equivalente a que cada modelo de T se embebe en un modelo de T*).

Principio

Un compañero de modelo axiomatiza las expansiones existencialmente cerradas de T: preserva la teoría universal a la vez que completa las consecuencias existenciales, de modo que los empeltes reflejan fórmulas existenciales y el compañero resulta modelo-completo.

Demostración

La teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de una característica fija es el compañero de modelo de la teoría de cuerpos de esa característica: los cuerpos algebraicamente cerrados son exactamente los cuerpos existencialmente cerrados, y el compañero es modelo-completo.

Aplicación incorrecta

Asumir que toda teoría consistente tiene compañero de modelo; en general la existencia no está garantizada y puede fallar incluso para clases naturales de estructuras.

Consecuencia

Cuando existe un compañero de modelo, se obtiene una teoría modelo-completa que suele simplificar la clasificación, las preguntas de decidibilidad y la transferencia de propiedades porque el cierre existencial se convierte en axiomas manejables.

Inversión

Lo inverso es una teoría sin compañero: muchas teorías admiten modelos existencialmente cerrados distintos que no pueden ser capturados por un único compañero modelo-completo, dejando un espectro diverso de completaciones.

Límite

Se refiere a pares de teorías (T, T*) donde T* comparte las consecuencias universales de T; la existencia es delicada y depende de restricciones sintácticas y model-teóricas (por ejemplo, la consistencia de los axiomas EC), y la noción no dice nada sobre unicidad más allá de la equivalencia lógica estándar.

Tensión semántica

Tensión entre compañero de modelo y completación de modelo: un compañero de modelo no tiene por qué ser una completación de modelo (que exige además propiedades más fuertes como eliminación de cuantificadores); a la inversa, las completaciones de modelo son compañeros particulares.

Síntesis

Un compañero de modelo es la teoría modelo-completa que captura exactamente los modelos existencialmente cerrados de una teoría subyacente; cuando existe, transforma el cierre existencial en axiomas, permitiendo un análisis semántico y sintáctico más limpio de empalmes y soluciones.