Propriété d'une théorie du premier ordre (dans un langage dénombrable) indiquant qu'elle possède un seul modèle de cardinalité dénombrable à l'isomorphisme près.

Principe

Détermination structurelle complète au niveau dénombrable : la théorie fixe le type d'isomorphisme de tout modèle dénombrable, de sorte que les modèles dénombrables ne peuvent pas différer de manière essentielle.

Démonstration

La théorie des ordres linéaires denses sans extrémités (le type d'ordre des rationnels) est ω-catégorique parce que tout ordre linéaire dense dénombrable sans extrémités est isomorphe aux rationnels, d'où l'unicité du modèle dénombrable à isomorphisme près.

Mauvaise application

Confondre ω-catégoricité avec la catégoricité pour cardinaux non dénombrables ou supposer que ω-catégoricité implique l'unicité des modèles de toutes les tailles infinies ; la ω-catégoricité ne contrôle que le cas dénombrable.

Conséquence

Forte classification des ensembles et des types définissables dans les modèles dénombrables : les théories ω-catégoriques ont des groupes d'automorphismes bien structurés et admettent souvent des descriptions combinatoires finies des n-types, facilitant l'analyse model-théorique.

Inversion

L'opposé consiste à avoir de nombreux modèles dénombrables non isomorphes ; une théorie peut être complète tout en admettant un grand nombre (même le continu) de modèles dénombrables non isomorphes.

Limite

Formulée généralement pour des langages dénombrables et concernant des modèles de cardinalité ℵ0 ; elle n'affirme rien sur les modèles de cardinalités non dénombrables ni sur les présentations calculables sauf si des hypothèses supplémentaires sont posées.

Tension sémantique

Tension avec la catégoricité en cardinaux supérieurs : la ω-catégoricité porte sur l'unicité en taille dénombrable, tandis que d'autres notions (p. ex. κ-catégoricité) traitent d'autres cardinalités et peuvent se comporter très différemment.

Synthèse

La ω-catégoricité signifie que la théorie détermine complètement la classe d'isomorphisme de ses modèles dénombrables ; c'est une forte rigidité au niveau ℵ0 qui donne un contrôle serré sur la structure définissable tout en laissant le comportement aux cardinaux supérieurs indépendant.