Eine Eigenschaft einer Theorie erster Ordnung (in einer abzählbaren Sprache), dass sie bis auf Isomorphie genau ein Modell von abzählbarer Mächtigkeit besitzt.

Prinzip

Vollständige strukturelle Bestimmung auf der abzählbaren Ebene: Die Theorie legt den Isomorphietyp jedes abzählbaren Modells fest, so dass abzählbare Modelle sich nicht wesentlich unterscheiden können.

Demonstration

Die Theorie dichter linearer Ordnungen ohne Ränder (der Ordnungstyp der rationalen Zahlen) ist ω-kategorisch, weil jede abzählbare dichte lineare Ordnung ohne Ränder isomorph zu den Rationalen ist; damit gibt es genau ein abzählbares Modell bis auf Isomorphie.

Fehlanwendung

ω-Kategorizität mit Kategorizität in unendlichen Kardinalitäten zu verwechseln oder anzunehmen, ω-Kategorizität bringe Einzigartigkeit in allen unendlichen Mächtigkeiten mit sich; ω-Kategorizität bezieht sich nur auf den abzählbaren Fall.

Konsequenz

Starke Klassifikation der definierbaren Mengen und Typen in abzählbaren Modellen: ω-kategorische Theorien haben gutartige Automorphismengruppen und erlauben häufig endliche kombinatorische Beschreibungen der n-Typen, was die modelltheoretische Analyse erleichtert.

Umkehrung

Das Gegenteil ist das Vorhandensein vieler nichtisomorpher abzählbarer Modelle; eine Theorie kann vollständig sein und dennoch continuum-viele nichtisomorphe abzählbare Modelle zulassen.

Abgrenzung

Üblicherweise für abzählbare Sprachen formuliert und bezieht sich auf Modelle der Kardinalität ℵ0; sie macht keine Aussagen über Modelle unendlicher, nicht abzählbarer Kardinalitäten oder über berechenbare Präsentationen, sofern nicht zusätzliche Annahmen gegeben sind.

Semantische Spannung

Spannung zur Kategorizität in höheren Kardinalitäten: ω-Kategorizität betrifft Einzigartigkeit in der abzählbaren Größe, während andere Begriffe (z. B. κ-Kategorizität) andere Kardinalitäten adressieren und sich ganz anders verhalten können.

Synthese

Ω-Kategorizität besagt, dass die Theorie die Isomorphieklasse ihrer abzählbaren Modelle vollständig bestimmt; es ist eine starke Starrheit auf ℵ0-Ebene, die enge Kontrolle über die definierbare Struktur gewährt und zugleich das Verhalten bei größeren Kardinalitäten offenlässt.