Propiedad de una teoría de primer orden (en un lenguaje numerable) que afirma que tiene, hasta isomorfismo, exactamente un modelo de cardinalidad numerable.

Principio

Determinación estructural completa a nivel numerable: la teoría fija el tipo de isomorfismo de cualquier modelo numerable, de modo que los modelos numerables no pueden diferir de forma esencial.

Demostración

La teoría de órdenes lineales densos sin extremos (el tipo de orden de los racionales) es ω-categórica porque toda orden lineal denso numerable sin extremos es isomorfa a los racionales, por tanto existe un único modelo numerable hasta isomorfismo.

Aplicación incorrecta

Confundir ω-categorizidad con categorizidad en cardinales no numerables o asumir que ω-categorizidad implica unicidad de modelos en todas las cardenalidades infinitas; ω-categorizidad solo controla el caso numerable.

Consecuencia

Fuerte clasificación de conjuntos y tipos definibles en modelos numerables: las teorías ω-categóricas tienen grupos de automorfismos bien comportados y frecuentemente admiten descripciones combinatorias finitas de los n-tipos, facilitando el análisis model-teórico.

Inversión

Lo opuesto es tener muchos modelos numerables no isomorfos; una teoría puede ser completa y aun así permitir un gran (incluso continuo) número de modelos numerables no isomorfos.

Límite

Se formula típicamente para lenguajes numerables y se refiere a modelos de cardinalidad ℵ0; no afirma nada sobre modelos de cardinalidades no numerables ni sobre presentaciones computables salvo que se añadan hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Tensión con la categorizidad en cardinalidades mayores: la ω-categorizidad trata la unicidad en tamaño numerable, mientras que otras nociones (p. ej. κ-categorizidad) tratan otras cardinalidades y pueden comportarse de forma muy distinta.

Síntesis

La ω-categorizidad significa que la teoría determina por completo la clase de isomorfia de sus modelos numerables; es una fuerte propiedad de rigidez a nivel ℵ0 que proporciona control preciso sobre la estructura definible mientras deja independiente el comportamiento en cardinalidades mayores.