Une application lisse f : M -> N entre variétés différentiables dont la différentielle df_p est injective en tout point p de M ; localement l'application insère les espaces tangents et place M dans N sans pli infinitésimal, bien que des auto-intersections globales puissent apparaître.

Principe

L'injectivité de la différentielle est la règle organisatrice : une immersion préserve l'information de dimension locale (rang = dim M) et fournit localement un plongement des espaces tangents ; son existence et son comportement sont contraints par des inégalités de dimensions et la classe de différentiabilité.

Démonstration

Un exemple élémentaire est l'immersion en huit de S^1 dans R^2 donnée par une application périodique lisse appropriée ; un autre est l'inclusion d'une sous-variété, qui est une immersion et devient un plongement lorsque l'inclusion est injective et un homéomorphisme sur son image.

Mauvaise application

Supposer que toute immersion est un plongement est une erreur fréquente : une immersion n'est pas nécessairement globalement injective ni propre, donc des affirmations nécessitant un homéomorphisme sur l'image (par exemple pour transférer des invariants topologiques globaux) peuvent échouer.

Conséquence

Employée correctement, une immersion garantit des cartes coordonnées locales sur l'image et permet de tirer en arrière tenseurs et formes différentielles ; elle soutient des constructions reposant sur un plongement local, comme les arguments de transversalité et certaines techniques de chirurgie.

Inversion

L'opposé conceptuel est constitué par les applications à différentielles dégénérées (points critiques) ou par les submersions : au lieu de l'injectivité sur les tangentes, on étudie la surjectivité (comportement de projection) ou l'échec de l'injectivité menant à des singularités.

Limite

L'immersion s'applique dans la catégorie lisse/différentiable avec un foncteur tangent bien défini ; elle exclut les plongements purement topologiques ou les injections continues dépourvues de structure différentiable et dépend de la classe de différentiabilité (C^k, C^, etc.).

Tension sémantique

L'immersion est en tension avec le plongement : les deux sont des notions locales d'« insertion » d'une variété dans une autre, mais le plongement ajoute l'injectivité globale et la compatibilité topologique ; elle concurrence aussi la notion plus faible de homéomorphisme local en topologie.

Synthèse

Une immersion est l'insertion locale, au niveau différentiel, d'une variété dans une autre : elle assure un comportement tangentiel injectif en tout point, permettant d'identifier localement le domaine dans le codomaine tout en autorisant des pathologies globales telles que l'auto-intersection.