Eine glatte Abbildung f : M -> N zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, deren Differential df_p an jedem Punkt p in M injektiv ist; lokal bettet die Abbildung die Tangentialräume ein und fügt M in N ein, obwohl global Selbstüberschneidungen auftreten können.

Prinzip

Die Injketivität des Differentials ist die ordnende Regel: eine Immersion erhält die lokale Dimensionsinformation (Rang = dim M) und liefert lokal eine Einbettung der Tangentialräume; Existenz und Verhalten werden durch Dimensionsungleichungen und die Differenzierbarkeitsklasse beschränkt.

Demonstration

Ein einfaches Beispiel ist die Acht-Immersion der S^1 in R^2 durch eine geeignete periodische glatte Abbildung; ein anderes ist die Inklusion einer Untermannigfaltigkeit, die eine Immersion ist und zu einer Einbettung wird, wenn die Inklusion injektiv und ein Homöomorphismus auf ihr Bild ist.

Fehlanwendung

Die Annahme, jede Immersion sei eine Einbettung, ist ein häufiger Fehler: Immersionen müssen nicht global injektiv oder proper sein, daher können Aussagen, die einen Homöomorphismus auf das Bild erfordern (z. B. Übertragung globaler topologischer Invarianten), fehlschlagen.

Konsequenz

Richtig angewandt sichert eine Immersion lokale Karten auf dem Bild und erlaubt das Zurückziehen von Tensoren und Differentialformen; sie unterstützt Konstruktionen, die auf lokaler Einbettung beruhen, etwa Transversalitätsargumente und bestimmte Operationen in der Chirurgie-Theorie.

Umkehrung

Das konzeptuelle Gegenteil sind Abbildungen mit degeneriertem Differential (kritische Punkte) oder Submersionen: statt Injketivität auf den Tangentialräumen betrachtet man Surjektivität (Projektionverhalten) oder das Versagen der Injketivität, das zu Singularitäten führt.

Abgrenzung

Immersion bezieht sich auf die glatte/differenzierbare Kategorie mit einem wohl definierten Tangentialfunktor; sie schließt rein topologische Einbettungen oder stetige Injektionen ohne differenzierbare Struktur aus und ist abhängig von der Differenzierbarkeitsklasse (C^k, C^ usw.).

Semantische Spannung

Immersion steht semantisch in Spannung zur Einbettung: beide sind lokale Konzepte des ‚Einschiebens‘ einer Mannigfaltigkeit in eine andere, aber die Einbettung verlangt zusätzlich globale Injketivität und topologische Verträglichkeit; ferner konkurriert sie mit der schwächeren Topologie-Notion des lokalen Homöomorphismus.

Synthese

Eine Immersion ist das lokale, differentielle Einfügen einer Mannigfaltigkeit in eine andere: sie garantiert überall injektives Tangentialverhalten, ermöglicht eine lokale geometrische Identifikation der Quelle im Ziel und toleriert dabei globale Besonderheiten wie Selbstüberschneidungen.