Una aplicación suave f : M -> N entre variedades diferenciables cuya diferencial df_p es inyectiva en cada punto p de M; localmente la aplicación incrusta los espacios tangentes y sitúa M en N sin pliegues infinitesimales, aunque puedan ocurrir autointersecciones globales.

Principio

La inyectividad de la diferencial es la regla organizadora: una inmersión preserva la información de dimensión local (rango = dim M) y proporciona localmente una incrustación de los espacios tangentes; su existencia y comportamiento están restringidos por desigualdades de dimensión y por la clase de diferenciabilidad.

Demostración

Un ejemplo elemental es la inmersión en forma de ocho de S^1 en R^2 dada por una aplicación periódica suave adecuada; otro ejemplo es la inclusión de una subvariedad, que es una inmersión que se vuelve incrustación cuando la inclusión es inyectiva y un homeomorfismo sobre su imagen.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda inmersión es una incrustación es un error habitual: las inmersiones no tienen por qué ser globalmente inyectivas ni propias, así que afirmaciones que requieren un homeomorfismo sobre la imagen (por ejemplo para transferir invariantes topológicos globales) pueden fallar.

Consecuencia

Usada correctamente, una inmersión garantiza cartas locales de variedad sobre la imagen y permite tirar atrás tensores y formas diferenciales; soporta construcciones basadas en incrustación local, como argumentos de transversalidad y ciertas técnicas de cirugía.

Inversión

El reverso conceptual son las aplicaciones con diferenciales degeneradas (puntos críticos) o las submersiónes: en lugar de la inyectividad en tangentes, se estudia la sobreyectividad (comportamiento de proyección) o el fallo de inyectividad que conduce a singularidades.

Límite

La inmersión pertenece a la categoría suave/diferenciable con un funtor tangente bien definido; excluye incrustaciones puramente topológicas o inyecciones continuas sin estructura diferenciable y depende de la clase de diferenciabilidad (C^k, C^, etc.).

Tensión semántica

La inmersión entra en tensión con la incrustación: ambas son nociones locales de «insertar» una variedad en otra, pero la incrustación añade inyectividad global y compatibilidad topológica; también compite con la noción más débil de homeomorfismo local en topología.

Síntesis

Una inmersión es la inserción local, a nivel diferencial, de una variedad en otra: asegura un comportamiento tangencial inyectivo en cada punto, permitiendo identificar geométricamente el dominio dentro del codominio localmente, mientras admite patologías globales como autointersecciones.